Question

Знайдіть екстремуми функції f(x) = х^2 – 1/3 x^3

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для знаходження екстремумів функції $f(x) = x^2 - \frac{1}{3}x^3$, спершу знайдемо похідну цієї функції за змінноїй $x$, а потім розв'яжемо рівняння $\frac{df}{dx} = 0$ для знаходження точок, в яких похідна дорівнює нулю. Такі точки можуть бути локальними максимумами або мінімумами функції.

Спершу знайдемо похідну функції $f(x)$ за змінною $x$:

$f'(x) = 2x - x^2$

Тепер знайдемо точки, в яких $f'(x) = 0$:

$2x - x^2 = 0$

$x(2 - x) = 0$

З цього рівняння маємо дві можливі точки екстремуму:

1. $x = 0$
2. $x = 2$

Тепер давайте визначимо, чи ці точки є локальними максимумами або мінімумами, використовуючи другу похідну та тест знаків.

Друга похідна функції $f(x)$:

$f''(x) = 2 - 2x$

Подивимося на знак $f''(x)$ в околі кожної з точок:

1. Для $x = 0$: $f''(0) = 2 > 0$, отже, у точці $x = 0$ маємо локальний мінімум.

2. Для $x = 2$: $f''(2) = 2 - 2(2) = -2 < 0$, отже, у точці $x = 2$ маємо локальний максимум.

Отже, функція $f(x) = x^2 - \frac{1}{3}x^3$ має локальний мінімум у точці $x = 0$ та локальний максимум у точці $x = 2$.