Question

Решить уравнениеcos2x+sinx= -13cos^2(x)+3sinxcosx=0​

Answer 1

$1)\ \ cos2x+sinx=-1\\\\\star \ \ \underline{cos2x}=cos^2x-sin^2x=(1-sin^2x)-sin^2x=\underline {1-2sin^2x}\ \ \star \\\\1-2sin^2x+sinx=-1\\\\2sin^2x-sinx-2=0\\\\t=sinx\ ,\ \ t\in [-1\, ;\, 1\, ]\ \ ,\ \ \ 2t^2-t-2=0\ \ ,\ \ D=17\ ,\ t_{1,2}=\dfrac{1\pm \sqrt{17}}{4}\\\\a)\ \ sinx=\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}\approx 1,28>1\ \ \to \ \ \ x\in \varnothing \ \ ,\\\\\\b)\ \ sinx=\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}\approx -0,78\ \ ,\ \ x=(-1)^{n}\cdot arcsin\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}+\pi k\ ,\ k\in Z$

$2)\ \ 3cos^2x+3\, sinx\cdot cosx=0\\\\3\, cosx\cdot (cosx+sinx)=0\\\\a)\ \ cosx=0\ ,\ \ x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\\\b)\ \ cosx+sinx=0\ \Big|:cosx\ne 0\\\\1+tgx=0\ \ ,\ \ \ tgx=-1\ \ ,\ \ \ x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k\ ,\ k\in Z\\\\\\Otvet:\ \ x_1=\dfrac{\pi}{2}+\pi n\ \ ,\ \ x_2=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k\ \ ,\ k,n\in Z\ .$

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте разберемся с ним пошагово.

У вас есть следующее уравнение:

cos(2x) + sin(x) = -13cos^2(x) + 3sin(x)cos(x) = 0

Сначала представим cos(2x) в виде выражения с помощью формулы двойного угла:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Теперь мы можем заменить cos(2x) в исходном уравнении:

2cos^2(x) - 1 + sin(x) = -13cos^2(x) + 3sin(x)cos(x)

Теперь объединим все члены с cos(x) и sin(x) на одной стороне уравнения:

2cos^2(x) + 13cos^2(x) = sin(x) - 3sin(x)cos(x) + 1

Сгруппируем члены:

15cos^2(x) = sin(x)(1 - 3cos(x)) + 1

Теперь можем использовать тригонометрическую идентичность sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы выразить sin(x) через cos(x):

sin(x) = √(1 - cos^2(x))

Подставим это выражение в уравнение:

15cos^2(x) = (√(1 - cos^2(x)))(1 - 3cos(x)) + 1

Теперь мы имеем уравнение только относительно cos(x). Решим его.

15cos^2(x) = (√(1 - cos^2(x)))(1 - 3cos(x)) + 1

Умножим обе стороны на √(1 - cos^2(x)):

15cos^2(x)√(1 - cos^2(x)) = (1 - 3cos(x))√(1 - cos^2(x)) + √(1 - cos^2(x))

Теперь обозначим z = cos(x) и продолжим решение:

15z^2√(1 - z^2) = (1 - 3z)√(1 - z^2) + √(1 - z^2)

Теперь выразим √(1 - z^2) как t:

t = √(1 - z^2)

Тогда у нас есть следующее уравнение:

15z^2t = (1 - 3z)t + t

15z^2t = (1 - 2z)t

Теперь разделим обе стороны на t (помните, что t ≠ 0):

15z^2 = 1 - 2z

Перепишем это уравнение в стандартной квадратной форме:

15z^2 + 2z - 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 15 * (-1) = 4 + 60 = 64

z1,2 = (-b ± √D) / (2a) = (-2 ± 8) / 30

Таким образом, получаем два решения для z:

z1 = (8 - 2) / 30 = 6 / 30 = 1/5 z2 = (-8 - 2) / 30 = -10 / 30 = -1/3

Теперь мы должны проверить, существуют ли соответствующие значения для t (t = √(1 - z^2)). Для z1:

t1 = √(1 - (1/5)^2) = √(1 - 1/25) = √(24/25) = √24/5

Для z2:

t2 = √(1 - (-1/3)^2) = √(1 - 1/9) = √(8/9) = √8/3

Итак, у нас есть две пары значений (z, t):

1. (z1, t1) = (1/5, √24/5)
2. (z2, t2) = (-1/3, √8/3)

Теперь мы можем найти значения cos(x) и sin(x) для каждой из этих пар. Для первой пары:

cos(x1) = 1/5 sin(x1) = √(1 - (1/5)^2) = √(24/25) = √24/5

Для второй пары:

cos(x2) = -1/3 sin(x2) = √(1 - (-1/3)^2) = √(8/9) = √8/3

Таким образом, у нас есть две пары решений:

1. x1: cos(x1) = 1/5, sin(x1) = √24/5
2. x2: cos(x2) = -1/3, sin(x2) = √8/3

Надеюсь, это помогло вам решить данное уравнение.