Question

Сумма первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии равна 21. Если мы добавим числа 2, 3 и 9 к членам a1, a2, a3, соответственно, то полученное число будет геометрической прогрессией b1, b2, b3. а) Найдите второй член арифметической прогрессии; б) Найдите разницу арифметической прогрессии.

Answer 1

Ответ:

А) a2 = 7

Б) d = 4

Объяснение:

{ a1 + a2 + a3 = 21

{ a1 + 2 = b1

{ a2 + 3 = b2 = b1*q

{ a3 + 9 = b3 = b1*q^2

Мы знаем, что: a2 = a1 + d; a3 = a1 + 2d. Подставляем это в 1 уравнение:

a1 + a1 + d + a1 + 2d = 21

3a1 + 3d = 21

a1 + d = a2 = 21/3 = 7

7 + 3 = 10 = b2

b2 = b1*q = 10 = 2*5

1) Предположим, что b1 = 5, q = 2. Тогда b3 = 5*2^2 = 5*4 = 20

Тогда:

a1 = b1 - 2 = 5 - 2 = 3

a2 = a1 + d = 3 + d = 7

d = 7 - 3 = 4

a3 = a2 + d = 7 + 4 = 11

a3 + 9 = 11 + 9 = 20 = b3

Все совпало.

2) Предположим, что b1 = 2; q = 5. Тогда:

a1 = b1 - 2 = 2 - 2 = 0

a2 = a1 + d = 0 + d = 7

d = 7

a3 = a2 + d = 7 + 7 = 14

b2 = b1*q = 2*5 = 10

b3 = b2*q = 10*5 = 50

Но a3 + 9 = 14 + 9 = 23 ≠ 50

Этот случай не подходит.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом.

а) Найдем второй член арифметической прогрессии.

Пусть первый член арифметической прогрессии a1 равен x, а разница прогрессии равна d. Тогда второй член a2 будет равен x + d, а третий член a3 будет равен x + 2d.

Из условия задачи известно, что сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 21:

a1 + a2 + a3 = 21

Теперь мы можем подставить выражения для a1, a2 и a3:

x + (x + d) + (x + 2d) = 21

Теперь объединим подобные члены и упростим уравнение:

3x + 3d = 21

Разделим обе стороны на 3:

x + d = 7

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает первый и второй члены арифметической прогрессии:

x + d = 7

б) Теперь найдем разницу арифметической прогрессии (d).

Мы знаем, что если к членам арифметической прогрессии a1, a2, a3 добавить числа 2, 3 и 9 соответственно, то получится геометрическая прогрессия b1, b2, b3.

Таким образом, мы можем записать следующее:

a1 + 2 = b1 a2 + 3 = b2 a3 + 9 = b3

Также, мы знаем, что b1, b2 и b3 образуют геометрическую прогрессию. Это означает, что отношение любых двух последовательных членов равно постоянной прогрессии, которую мы обозначим как q.

Таким образом, мы можем записать:

b2 / b1 = q b3 / b2 = q

Из условия задачи известно, что:

b2 / b1 = b3 / b2

Теперь подставим выражения для b1, b2, b3:

(a2 + 3) / (a1 + 2) = (a3 + 9) / (a2 + 3)

Мы уже знаем, что a1 + d = 7, поэтому можем заменить a1 + 2 на (7 - d):

(a2 + 3) / (7 - d) = (a3 + 9) / (a2 + 3)

Теперь мы можем заменить a2 и a3 на их выражения в терминах x и d:

(x + d + 3) / (7 - d) = (x + 2d + 9) / (x + d + 3)

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает x и d:

(x + d + 3) / (7 - d) = (x + 2d + 9) / (x + d + 3)

Теперь можно решить это уравнение, чтобы найти значения x и d, а затем вычислить второй член арифметической прогрессии (a2) и разницу арифметической прогрессии (d). Это может потребовать дальнейших вычислений.