Question

СРОЧНО!!! НАЙТИ ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ y=4x^3-9x^2+6x

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y=4x³ -9x² +6x

все ищем через производную

y'(х₀) =0 это и будут точки экстремумов

y' = 12x²-18x+6

12x²-18x+6 = 0 ⇒  х₁=1;   х₂= 0,5;

у(1) = 1

у(0,5) = 1,25

чтобы определить минимум или максимум берут вторую производную (хотя здесь и так видно, что х₁=1 это точка минимума, а х₂= 0,5 точка максимума.

но проверим, как положено

y'' = 24x-18

y''(1) = 6>0 - значит точка x₁= 1 точка минимума функции.

y''(0,5) = -6<  = значит точка х₂= 0,5 - точка максимума функции.

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции $y = 4x^3 - 9x^2 + 6x$, следует найти её производные и найти точки, в которых производные равны нулю. Экстремумы будут находиться в этих точках. Давайте начнем с нахождения производных:

1. Найдем первую производную $y'$: $y' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 9x^2 + 6x)$.

Используя правила дифференцирования, получим: $y' = 12x^2 - 18x + 6$.

2. Теперь найдем вторую производную $y''$: $y'' = \frac{d}{dx}(12x^2 - 18x + 6)$.

И снова применим правила дифференцирования: $y'' = 24x - 18$.

Теперь мы имеем производные первого и второго порядка. Чтобы найти экстремумы, найдем точки, в которых $y' = 0$, так как экстремумы находятся в точках, где производная обращается в нуль:

$12x^2 - 18x + 6 = 0$.

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем поделить все его коэффициенты на 6, чтобы упростить его:

$2x^2 - 3x + 1 = 0$.

Теперь найдем корни этого уравнения. Мы можем разложить его на множители:

$(2x - 1)(x - 1) = 0$.

Из этого уравнения следует, что $x = \frac{1}{2}$ и $x = 1$ - корни. Теперь мы можем найти соответствующие значения $y$ для этих $x$:

Для $x = \frac{1}{2}$: $y = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 9\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 6\left(\frac{1}{2}\right) = 1 - \frac{9}{4} + 3 = \frac{4}{4} - \frac{9}{4} + \frac{12}{4} = -\frac{1}{4}$.

Для $x = 1$: $y = 4(1)^3 - 9(1)^2 + 6(1) = 4 - 9 + 6 = 1$.

Итак, у нас есть две точки, в которых производная $y'$ равна нулю: $x = \frac{1}{2}$ и $x = 1$. Для $x = \frac{1}{2}$ значение функции $y$ равно $-\frac{1}{4}$, а для $x = 1$ значение функции $y$ равно $1$. Таким образом, у нас есть два экстремума функции:

1. Минимум в точке $\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)$.
2. Максимум в точке $(1, 1)$.