Question

Доказать неравенство x^4+y^4>= x^3y+xy^3 при любых x и y

Answer 1

x^4+y^4>= x^3y+xy^3

x^4+y^4  - x^3y - xy^3 = x(x^3 - y^3) - y(x^3 - y^3)= (x - y)(x^3 - y^3) = (x - y)(x - y)(x^2 +xy +y^2) = (x - y)^2(x^2 + xy + y^2) >= 0

(x - y)^2 >= 0 как квадрат

x^2 + xy + y^2 >= 0 неполный квадрат

произведение >= 0

Answer 2

Давайте докажем данное неравенство для любых действительных чисел x и y. Мы можем воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для двух чисел:

Для любых двух положительных чисел a и b:

(a + b)/2 ≥ √(ab).

Теперь, заметим, что если x и y неотрицательные, то неравенство сразу выполняется:

x^4 + y^4 ≥ 2√(x^4y^4) = 2x^2y^2.

Нам нужно доказать неравенство для случая, когда x и y могут быть отрицательными. Рассмотрим два случая:

1. Пусть x и y положительные числа. В этом случае мы уже доказали неравенство выше.

2. Пусть x и y отрицательные числа. Пусть u = -x и v = -y, где u и v положительные числа. Тогда мы можем переписать неравенство как:

u^4 + v^4 ≥ 2u^2v^2.

Теперь мы находимся в случае положительных чисел, и мы можем использовать неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для u^4 и v^4:

(u^4 + v^4)/2 ≥ √(u^4v^4) = u^2v^2.

Таким образом, для случая отрицательных x и y, неравенство также выполняется.

Итак, мы доказали неравенство x^4 + y^4 ≥ x^3y + xy^3 для любых действительных чисел x и y, независимо от их знаков.