Question

При помощи производной вычислите приближенно 1,003^99 ;

Answer 1

1.

$f(x) = x^{99}$

$f(x) - f(x_0) \approx f'(x_0)\cdot \Delta x$

$x = 1{,}003$

$x_0 = 1$

$\Delta x = x - x_0 = 0{,}003$

$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\cdot \Delta x$

$f(x) = 1{,}003^{99}$

$f(x_0) = 1^{99} = 1$

$f'(x) = (x^{99})' = 99\cdot x^{98}$

$f'(x_0) = 99\cdot x_0^{98} = 99\cdot 1^{98} = 99$

$1{,}003^{99} \approx 1 + 99\cdot 0{,}003 = 1 + 0{,}297 = 1{,}297$

2.

$f(x) = \sqrt{x}$

$f(x) - f(x_0) \approx f'(x_0)\cdot \Delta x$

$x = 4{,}002$

$x_0 = 4$

$\Delta x = x - x_0 = 0{,}002$

$f'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\cdot\sqrt{x}}$

$f'(x_0) = \frac{1}{2\cdot\sqrt{x_0}} = \frac{1}{2\cdot\sqrt{4}} = \frac{1}{2\cdot 2} =$

$= \frac{1}{4} = 0{,}25$

$\sqrt{4{,}002} \approx \sqrt{4} + 0{,}25\cdot 0{,}002 =$

$= 2 + 0{,}0005 = 2{,}0005$

Answer 2

Для вычисления приближенного значения числа $1,003^{99}$ с помощью производной, мы можем использовать метод дифференцирования логарифма. Давайте представим $1,003^{99}$ как $e^{99 \ln(1,003)}$, где $e$ - это число Эйлера, а $\ln(1,003)$ - естественный логарифм числа 1,003. Теперь мы можем взять производную от обеих сторон:

$\frac{d}{dx} (e^{99 \ln(1,003)}) = \frac{d}{dx} (e^{99 \ln(x)})$

Далее, используя правило цепи, получаем:

$\frac{d}{dx} (e^{99 \ln(x)}) = 99e^{99 \ln(x)} \cdot \frac{d}{dx}(\ln(x))$

Теперь нам нужно вычислить производную $\ln(x)$, которая равна $\frac{1}{x}$. Подставляем это значение:

$99e^{99 \ln(1,003)} \cdot \frac{1}{1,003}$

Теперь мы можем вычислить это приближенное значение:

$99e^{99 \ln(1,003)} \cdot \frac{1}{1,003} \approx 99 \cdot 1,003^{99} \cdot \frac{1}{1,003} = 99 \cdot 1,003^{98}$

Таким образом, приближенное значение $1,003^{99}$ равно $99 \cdot 1,003^{98}$.