Question

Решите Уравнение √2cosx-1=0 Sin3x+sinx=0 3sin2x + 3 sin x cos x + 2 cos2x = 1 Решите неравенство √3-2sin x<0

Answer 1

Ответ:

√2cos x1=0

cosx=1/ √2

x=+- acrccos 1/ √2 +2πn

x=+- π/4 + 2πn

Answer 2

Давайте начнем с решения уравнений:

1. √(2cosx - 1) = 0

Сначала избавимся от корня, возведя обе стороны уравнения в квадрат:

2cosx - 1 = 0

Теперь добавим 1 к обеим сторонам:

2cosx = 1

Теперь разделим обе стороны на 2:

cosx = 1/2

Теперь найдем все углы между 0 и 2π, при которых cosx равен 1/2. Это происходит в двух случаях:

a) x = π/3 b) x = 5π/3

2. Sin(3x) + sin(x) = 0

Мы можем использовать тригонометрические тождества для упрощения уравнения:

sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)

Теперь подставим это в уравнение:

3sin(x) - 4sin^3(x) + sin(x) = 0

4sin^3(x) - 4sin(x) + 3sin(x) = 0

4sin^3(x) - sin(x) = 0

sin(x)(4sin^2(x) - 1) = 0

Теперь рассмотрим два случая:

a) sin(x) = 0

Этот случай соответствует x = 0 и x = π.

b) 4sin^2(x) - 1 = 0

4sin^2(x) = 1

sin^2(x) = 1/4

sin(x) = ±1/2

Это приводит к двум дополнительным решениям:

x = π/6 и x = 5π/6.

3. 3sin(2x) + 3sin(x)cos(x) + 2cos^2(x) = 1

Давайте упростим это уравнение:

3sin(2x) + 3sin(x)cos(x) + 2(1 - sin^2(x)) = 1

3sin(2x) + 3sin(x)cos(x) + 2 - 2sin^2(x) = 1

3sin(2x) + 3sin(x)cos(x) - 2sin^2(x) = -1

Теперь мы можем переписать sin(2x) через sin(x) и cos(x):

3(2sin(x)cos(x)) + 3sin(x)cos(x) - 2sin^2(x) = -1

6sin(x)cos(x) + 3sin(x)cos(x) - 2sin^2(x) = -1

9sin(x)cos(x) - 2sin^2(x) = -1

Теперь выразим sin(2x) через sin(x) и cos(x):

2sin(x)cos(x) = sin(2x)

9sin(2x) - 2sin^2(x) = -1

9sin(2x) - 2(1 - cos^2(x)) = -1

9sin(2x) - 2 + 2cos^2(x) = -1

9sin(2x) + 2cos^2(x) = 1

Теперь мы имеем уравнение:

9sin(2x) + 2cos^2(x) = 1

Теперь давайте перейдем к решению неравенства:

√3 - 2sin(x) < 0

Добавим 2sin(x) к обеим сторонам:

√3 < 2sin(x)

Теперь разделим обе стороны на 2:

√3/2 < sin(x)

Так как sin(x) находится в интервале [-1, 1], то неравенство будет выполняться в интервале:

-π/3 < x < π/3

Таким образом, решение неравенства это:

-π/3 < x < π/3