Question

√3cos2x=sinx×cosx Решите уравнение методом разложения на множители ​

Answer 1

Відповідь:

√3cos2x=1/2 sin(2 x)

tg(2x)=2√3

x = 1/2 (π n + tan^(-1)(2 sqrt(3))), n ∈ Z

Пояснення:

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение методом разложения на множители, мы сначала преобразуем его. Исходное уравнение:

√3cos(2x) = sin(x) * cos(x)

Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы преобразовать левую сторону:

√3(2cos^2(x) - 1) = sin(x) * cos(x)

Теперь мы можем решить это уравнение. Возможно, лучший способ сделать это - использовать замену. Давайте представим:

u = cos(x)

Тогда уравнение становится:

√3(2u^2 - 1) = sin(x) * u

Теперь мы можем решить его как квадратное уравнение относительно u:

√3(2u^2 - 1) = sin(x) * u

√3(2u^2 - 1) - sin(x) * u = 0

Теперь давайте решим это квадратное уравнение относительно u, используя метод разложения на множители. Мы хотим найти такие значения u, при которых выражение равно нулю:

(√3u - 1)(2u + √3) = 0

Теперь мы имеем два уравнения:

1. √3u - 1 = 0
2. 2u + √3 = 0

Решим их по очереди:

1. √3u - 1 = 0 √3u = 1 u = 1/√3

2. 2u + √3 = 0 2u = -√3 u = -√3/2

Теперь у нас есть два значения u, которые мы можем подставить в нашу исходную замену:

1. u = 1/√3 cos(x) = 1/√3

2. u = -√3/2 cos(x) = -√3/2

Теперь найдем соответствующие значения x:

1. cos(x) = 1/√3 x = π/6 + 2πn, где n - целое число

2. cos(x) = -√3/2 x = 5π/6 + 2πn, где n - целое число

Таким образом, решениями исходного уравнения являются:

x = π/6 + 2πn, где n - целое число x = 5π/6 + 2πn, где n - целое число