Question

Докажите, что n^3-n делится на 3 при любом натуральном n​

Answer 1

Объяснение:

$></p> <p><em>(В произведении трёх последовательных чисел одно из них обязательно делится на 3).</em></p> </div> <div class=$ 0 0

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай (n = 1)

При n = 1: n^3 - n = 1^3 - 1 = 0

0 делится на 3 без остатка (0 = 3 * 0), поэтому базовый случай верен.

Шаг 2: Предположение индукции

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, то есть k^3 - k делится на 3 без остатка.

Шаг 3: Индукционный переход

Теперь докажем, что если утверждение верно для k, то оно верно и для k + 1.

Рассмотрим выражение (k + 1)^3 - (k + 1): (k + 1)^3 - (k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - (k + 1)

Теперь выразим k^3 - k из предположения индукции: k^3 - k = 3m (где m - целое число, так как k^3 - k делится на 3 без остатка по предположению индукции).

Теперь вернемся к выражению (k + 1)^3 - (k + 1): (k + 1)^3 - (k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - (k + 1) = (k^3 - k) + 3k^2 + 3k

Теперь мы знаем, что k^3 - k делится на 3 без остатка, поэтому оно равно 3m: (k^3 - k) + 3k^2 + 3k = 3m + 3k^2 + 3k

Теперь вынесем общий множитель 3: 3(m + k^2 + k)

Таким образом, (k + 1)^3 - (k + 1) делится на 3 без остатка.

Так как мы доказали, что если утверждение верно для k, то оно верно и для k + 1, и базовый случай верен, то по принципу математической индукции можно заключить, что n^3 - n делится на 3 при любом натуральном n.