Question

Найти значения параметра a, при которых прямые (3a+1)x+(3a+3)y+3=0 и (2a+3)x+(4a+1)y−5=0 параллельны (не имеют общих точек)

Answer 1

Ответ:

2; -2/3

Объяснение:

Чтобы прямые были параллельны, нужно чтобы коэффициенты при х и у были пропорциональны. Составим пропорцию

(3а+1)/(2а+3)=(3а+3)/(4а+1)

Получаем

6а²-8а-8=0

Решаем через дискриминант, получаем а=2;-2/3

Answer 2

Две прямые параллельны, если их направляющие векторы пропорциональны. Направляющий вектор для прямой в общем уравнении Ax + By + C = 0 имеет компоненты (A, B). Таким образом, для первой прямой у нас есть направляющий вектор (3a+1, 3a+3), и для второй прямой у нас есть направляющий вектор (2a+3, 4a+1).

Для того чтобы эти прямые были параллельны, их направляющие векторы должны быть пропорциональными. Это означает, что отношение компонент направляющих векторов первой и второй прямой должно быть одинаковым:

(3a+1) / (2a+3) = (3a+3) / (4a+1)

Теперь давайте решим этот уравнение для a:

(3a+1) / (2a+3) = (3a+3) / (4a+1)

Перемножим обе стороны на (2a+3) и (4a+1), чтобы избавиться от дробей:

(3a+1)(4a+1) = (3a+3)(2a+3)

Раскроем скобки:

12a^2 + 4a + 3a + 1 = 6a^2 + 9a + 6a + 9

Упростим уравнение:

12a^2 + 4a + 3a + 1 = 6a^2 + 15a + 9

Теперь выразим все члены уравнения на одной стороне:

12a^2 + 7a + 1 = 6a^2 + 15a + 9

Вычитаем 6a^2 и 15a из обеих сторон:

6a^2 - 8a + 1 = 9

Теперь вычитаем 9 из обеих сторон:

6a^2 - 8a - 8 = 0

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем разделить все коэффициенты на 2, чтобы упростить его:

3a^2 - 4a - 4 = 0

Используем квадратное уравнение:

a = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

где a = 3, b = -4, и c = -4. Подставим значения:

a = (-(-4) ± √((-4)² - 4 * 3 * (-4))) / (2 * 3)

a = (4 ± √(16 + 48)) / 6

a = (4 ± √64) / 6

a = (4 ± 8) / 6

Теперь найдем два возможных значения a:

1. a = (4 + 8) / 6 = 12 / 6 = 2
2. a = (4 - 8) / 6 = -4 / 6 = -2/3

Итак, у нас есть два значения параметра a, при которых прямые параллельны и не имеют общих точек: a = 2 и a = -2/3.