Question

Интеграл (cos^4 2x-sin^4 2x)dx

Answer 1

Решение задания прилагаю

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫(cos^4(2x) - sin^4(2x)) dx мы можем воспользоваться формулами для косинуса и синуса двойного угла:

cos^2(2x) = (1 + cos(4x)) / 2 sin^2(2x) = (1 - cos(4x)) / 2

Теперь мы можем выразить cos^4(2x) и sin^4(2x) через квадраты cos^2(2x) и sin^2(2x):

cos^4(2x) = (cos^2(2x))^2 = ((1 + cos(4x)) / 2)^2 sin^4(2x) = (sin^2(2x))^2 = ((1 - cos(4x)) / 2)^2

Теперь мы можем переписать исходный интеграл:

∫(cos^4(2x) - sin^4(2x)) dx = ∫(((1 + cos(4x)) / 2)^2 - ((1 - cos(4x)) / 2)^2) dx

Теперь раскроем квадраты:

∫(((1 + cos(4x))^2 / 4) - ((1 - cos(4x))^2 / 4)) dx

Раскроем скобки и упростим:

(1/4) * ∫(1 + 2cos(4x) + cos^2(4x) - 1 + 2cos(4x) - cos^2(4x)) dx

Теперь выразим cos^2(4x) через cos(4x):

cos^2(4x) = 1 - sin^2(4x) = 1 - (1 - cos^2(4x)) = cos^2(4x)

Теперь у нас есть:

(1/4) * ∫(1 + 2cos(4x) + cos^2(4x) - 1 + 2cos(4x) - cos^2(4x)) dx

(1/4) * ∫(2 + 4cos(4x)) dx

Теперь мы можем проинтегрировать:

(1/4) * (2x + sin(4x)) + C

где C - произвольная константа.

Итак, интеграл ∫(cos^4(2x) - sin^4(2x)) dx равен:

(1/4) * (2x + sin(4x)) + C