Question

Доведи, що значення виразу 29⁸ + 29⁹ кратне 30

Answer 1

29⁸+29⁹ = 29⁸+29*29⁸ = 29⁸*(1+29) = 29⁸*30
Один із множників рівний 30, а це означає, що вираз 29⁸+29⁹ кратний 30.

Answer 2

Щоб довести, що значення виразу 29⁸ + 29⁹ кратне 30, спростимо вираз та розглянемо його залишок при діленні на 30.

Маємо: 29⁸ + 29⁹ = 29⁸ * (1 + 29)

Тепер розглянемо залишок цього виразу при діленні на 30. Ми можемо розділити цей вираз на дві частини та розглянути їх окремо:

1. Залишок від (29⁸) при діленні на 30.

2. Залишок від (29⁸ * 29) при діленні на 30.

3. Залишок від (29⁸) при діленні на 30: Звернімо увагу, що будь-яке число, яке закінчується на 9, при піднесенні до степені буде закінчуватися на 9. Тобто, 29 закінчується на 9, тому 29⁸ закінчується на 9. Але 9 не кратне 30, тобто залишок від ділення 29⁸ на 30 - це 9.

4. Залишок від (29⁸ * 29) при діленні на 30: Тут ми маємо добуток двох чисел, одне з яких закінчується на 9 (29⁸), а інше на 29. Оскільки 9 * 29 = 261, то залишок від ділення (29⁸ * 29) на 30 - це також 9.

Отже, залишок від ділення суми 29⁸ + 29⁹ на 30 буде такий: (9 + 9) mod 30 = 18 mod 30 = 18.

Залишок 18 не дорівнює 0, тобто вираз 29⁸ + 29⁹ не кратний 30. Тобто, вираз 29⁸ + 29⁹ не є кратним 30.