Question

Найти объем тела, образованного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями : y=8-x; x=0 ;x=6 ;y=0

Answer 1

Ответ:

$y=8-x\ \ ,\ \ x=0\ \ ,\ \ x=6\ \ ,\ \ x=0\\\\S=\int\limits^6_0\, (8-x)\, dx=-\dfrac{(8-x)^2}{2}\ \Big|_0^6=-\dfrac{1}{2}\cdot (2^2-8^2)=-\dfrac{1}{2}\cdot (-60)=30$

Answer 2

Для нахождения объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, мы можем использовать метод цилиндрических оболочек. В этом случае, мы будем вращать фигуру, ограниченную кривыми y = 8 - x, x = 0, x = 6 и y = 0, вокруг оси x (поскольку она вертикальная).

Сначала найдем интервал, по которому будем вращать фигуру. Это будет от x = 0 до x = 6.

Теперь нам нужно выразить радиус цилиндра в зависимости от x. Радиусом будет расстояние от оси вращения (ось x) до кривой y = 8 - x. Это расстояние равно x, так как x - это расстояние от вертикальной линии x = 0 до кривой y = 8 - x.

Теперь мы можем написать интеграл для вычисления объема этого тела:

V = ∫[от 0 до 6] π * r^2 * dx

где r - радиус цилиндра, который равен x.

V = ∫[от 0 до 6] π * x^2 dx

Теперь вычислим этот интеграл:

V = π * ∫[от 0 до 6] x^2 dx

V = π * [x^3 / 3] |[от 0 до 6]

V = π * [(6^3 / 3) - (0^3 / 3)]

V = π * [(216 / 3) - 0]

V = π * (72 - 0)

V = 72π

Итак, объем тела, образованного вращением данной плоской фигуры вокруг оси x, равен 72π кубическим единицам.