Question

Найти частные производные функции z=√(2x+3x²y+y) в точке А(1;1)

Answer 1

$z=\sqrt{2x+3x^2y+y}$

Найдем частную производную по "х":

$\dfrac{\partial z}{\partial x} =\dfrac{1}{2\sqrt{2x+3x^2y+y}} \cdot(2x+3x^2y+y)'_x$

$\dfrac{\partial z}{\partial x} =\dfrac{1}{2\sqrt{2x+3x^2y+y}} \cdot(2+3y\cdot 2x)$

$\dfrac{\partial z}{\partial x} =\dfrac{2+6xy}{2\sqrt{2x+3x^2y+y}}$

$\dfrac{\partial z}{\partial x} (A)=\dfrac{2+6\cdot1\cdot1}{2\sqrt{2\cdot1+3\cdot1^2\cdot1+1}} =\dfrac{2+6}{2\sqrt{2+3+1}} =\dfrac{8}{2\sqrt{6}} =\dfrac{4}{\sqrt{6}}$

Найдем частную производную по "у":

$\dfrac{\partial z}{\partial y} =\dfrac{1}{2\sqrt{2x+3x^2y+y}} \cdot(2x+3x^2y+y)'_y$

$\dfrac{\partial z}{\partial y} =\dfrac{1}{2\sqrt{2x+3x^2y+y}} \cdot(3x^2+1)$

$\dfrac{\partial z}{\partial y} =\dfrac{3x^2+1}{2\sqrt{2x+3x^2y+y}}$

$\dfrac{\partial z}{\partial y} (A)=\dfrac{3\cdot1^2+1}{2\sqrt{2\cdot1+3\cdot1^2\cdot1+1}}=\dfrac{3+1}{2\sqrt{2+3+1}}=\dfrac{4}{2\sqrt{6}}=\dfrac{2}{\sqrt{6}}$

Answer 2

Для нахождения частных производных функции z = √(2x + 3x²y + y) по переменным x и y в точке А(1;1), нам нужно взять производные этой функции по каждой из переменных и подставить значения x = 1 и y = 1.

Сначала найдем частную производную по переменной x:

∂z/∂x = (1/2) * (2x + 3x²y + y)^(-1/2) * (2 + 6xy).

Теперь вычислим эту производную в точке A(1;1):

∂z/∂x = (1/2) * (21 + 31²1 + 1)^(-1/2) * (2 + 61*1) ∂z/∂x = (1/2) * (2 + 3 + 1)^(-1/2) * (2 + 6) ∂z/∂x = (1/2) * (6)^(-1/2) * 8 ∂z/∂x = (1/2) * (1/√6) * 8 ∂z/∂x = (4/√6)

Теперь найдем частную производную по переменной y:

∂z/∂y = (1/2) * (2x + 3x²y + y)^(-1/2) * (0 + 3x² + 1).

Вычислим эту производную в точке A(1;1):

∂z/∂y = (1/2) * (21 + 31²1 + 1)^(-1/2) * (0 + 31² + 1) ∂z/∂y = (1/2) * (2 + 3 + 1)^(-1/2) * (0 + 3 + 1) ∂z/∂y = (1/2) * (6)^(-1/2) * 4 ∂z/∂y = (1/2) * (1/√6) * 4 ∂z/∂y = (2/√6)

Итак, частная производная функции z по переменной x в точке A(1;1) равна (4/√6), а частная производная по переменной y в той же точке равна (2/√6).