Question

В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны, а диагонали AC и BD перпендикулярны. Докажите, что AD + BC = AB + CD.

Answer 1

Решение.

Впишем четырехугольник ABCD в прямоугольник EFGH со сторонами,

параллельными диагоналям (EF || AC и EH || BD) - смотри рисунок.

Пусть L - точка пересечения прямых DC и EF, а M - точка на прямой HG такая, что LM || FG.

Тогда ABLC - параллелограмм, следовательно, AB = CL.

Так как GM = FL = EB = HD и AH = CG, то треуг-к AHD = треуг-ку CGM ,

следовательно, AD = CM. BC + CM = BC + AD .

Но BM = DL как диагонали прямоугольника BLDM, и DL = DC + CL = DC + AB.

Следовательно, AD + BC = DL = DC + CL = DC + AB, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма и прямоугольника, образованными диагоналями AC и BD.

1. Поскольку стороны AB и CD параллельны и диагонали AC и BD перпендикулярны, это означает, что ABCD - прямоугольник.

2. Рассмотрим треугольники ABD и BCD. В данных треугольниках стороны AB и CD являются соответствующими сторонами прямоугольника ABCD, а также, поскольку прямоугольник ABCD, AC и BD являются его диагоналями, то они равны по длине.

3. Теперь мы имеем два равных треугольника ABD и BCD с равными сторонами AB и CD и равными гипотенузами AD и BC.

4. Из свойств равных треугольников следует, что соответствующие стороны равны. То есть, AD = BC.

5. Теперь мы можем сложить AD и BC и получим: AD + BC = BC + BC = 2BC.

6. Со стороны прямоугольника ABCD, AB = CD.

7. Теперь мы можем сложить AB и CD и получим: AB + CD = AB + AB = 2AB.

8. Из пункта 5 (AD + BC = 2BC) и пункта 7 (AB + CD = 2AB) видно, что AD + BC = AB + CD.

Таким образом, мы доказали, что в данном выпуклом четырехугольнике выполняется равенство AD + BC = AB + CD.