Question

Помогите Найти частное решение дифференциального уравнения Y’’+py’+qy=f(x) ; С удовлетворяющее начальным условиям y’’-2y’+5=0, y(0)=1,y’(0)=0

Answer 1

Ответ:

$y = {e}^{kx} \\ {k}^{2} - 2 k + 5 = 0 \\ d = 4 - 20 = - 16 \\ k1 = \frac{2 + \sqrt{ - 16} }{2} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i \\ k = 1 - 2i \\ y = {e}^{x}( C1 \sin(2x) + C2 \cos(2x))$

общее решение

$y(0) = 1,y'(0) = 0$

$y' = {e}^{x} (C1 \sin(2x) + C2 \cos(2x)) + {e}^{x}(2 C1 \cos(2x) - 2 C2 \sin(2x)) = \\ = {e}^{x} ((C1 - 2C2) \sin(2x) + (C2 + 2C1) \cos(2x))$

система:

$1 = {e}^{0} (0 + C2) \\ 0 = {e}^{0} (C2 + 2C1) \\ \\ C2 = 1 \\ C1 = - \frac{1}{2} C2 = - \frac{1}{2}$

$y = {e}^{x} ( \cos(2x) - \frac{1}{2} \sin(2x))$

частное решение

Answer 2

Для нахождения частного решения дифференциального уравнения вида Y'' + pY' + qY = f(x), мы можем воспользоваться методом вариации постоянных, предполагая, что частное решение имеет вид Yp(x) = u(x)v(x), где u(x) и v(x) - функции, которые нужно определить.

Для начала, найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Y'' - 2Y' + 5Y = 0

Характеристическое уравнение для этого уравнения имеет вид:

r^2 - 2r + 5 = 0

Используя квадратное уравнение, мы находим два комплексных корня:

r1 = 1 - 2i r2 = 1 + 2i

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Yh(x) = c1e^(1x)cos(2x) + c2e^(1x)sin(2x)

Теперь, используя метод вариации постоянных, предположим, что частное решение имеет вид Yp(x) = u(x)v(x), где u(x) и v(x) - неизвестные функции.

Уравнение для u(x) и v(x) будет выглядеть следующим образом:

u''(x)v(x) + 2u'(x)v'(x) - 5u(x)v(x) = f(x)

Теперь мы выбираем функцию u(x) так, чтобы упростить левую часть уравнения. Попробуем u(x) = e^(x), тогда:

u'(x) = e^(x) u''(x) = e^(x)

Подставим это в уравнение:

e^(x)v(x) + 2e^(x)v'(x) - 5e^(x)v(x) = f(x)

Упростим:

2e^(x)v'(x) = f(x)

Теперь разделим обе стороны на 2e^(x):

v'(x) = (1/2)e^(-x)f(x)

Теперь мы можем найти v(x) путем интегрирования правой стороны:

v(x) = ∫(1/2)e^(-x)f(x) dx

Теперь, зная функцию v(x), мы можем найти Yp(x) = u(x)v(x):

Yp(x) = e^(x) ∫(1/2)e^(-x)f(x) dx

Теперь, чтобы найти частное решение, вам нужно подставить данное частное решение в начальные условия y(0) = 1 и y'(0) = 0 и решить получившиеся уравнения относительно неизвестных постоянных.