Question

798. Докажите, что: а) если ab + c2 = 0, то (а + с) (b+c) + (а — с) (b — c) = 0;б) если a + b = 9, то (а + 1) (b + 1) - (а — 1) (b – 1) = 18.​

Answer 1

Ответ:

а)

$(a+c)(b+c)+(a-c)(b-c)=\\ab+ac+bc+c^2+ab-ac-bc+c^2=\\2ab+2c^2=\\2(ab+c^2)=2*0=0$

б)

$(a+1)(b+1)-(a-1)(b-1) =\\ab+a+b+1-(ab-a-b+1)=\\ab+a+b+1-ab+a+b-1=\\2a+2b=\\2(a+b)= 2*9=18$

Объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим оба утверждения по очереди:

а) Если ab + c^2 = 0, то (a + c)(b + c) + (a - c)(b - c) = 0.

Для доказательства этого утверждения начнем с раскрытия скобок:

(a + c)(b + c) + (a - c)(b - c) = ab + ac + bc + c^2 + ab - ac - bc + c^2

Заметим, что многие слагаемые сокращаются:

ab и -ab, ac и -ac, bc и -bc, c^2 и -c^2

Остается только:

2c^2

Таким образом, (a + c)(b + c) + (a - c)(b - c) = 2c^2.

Из начального условия ab + c^2 = 0 известно, что ab = -c^2. Подставим это значение в выражение:

2c^2 = 2(-c^2) = -2c^2

Таким образом, мы доказали, что (a + c)(b + c) + (a - c)(b - c) = -2c^2, что равно 0, так как начальное условие ab + c^2 = 0.

б) Если a + b = 9, то (a + 1)(b + 1) - (a - 1)(b - 1) = 18.

Для доказательства этого утверждения также начнем с раскрытия скобок:

(a + 1)(b + 1) - (a - 1)(b - 1) = ab + a + b + 1 - (ab - a - b + 1)

Снова многие слагаемые сокращаются:

ab и -ab, a и -a, b и -b, 1 и -1, 1 и -1

Остается только:

a + b + 1 - (-a - b + 1) = a + b + 1 + a + b - 1

Теперь подставим условие a + b = 9:

9 + 1 + 9 - 1 = 9 + 9 = 18

Таким образом, мы доказали, что (a + 1)(b + 1) - (a - 1)(b - 1) = 18, при условии a + b = 9.