Question

Найдите экстремумы функций:f(x) =sinx+cosx​

Answer 1

$f\left ( x \right )=sinx+cosx\\f'\left ( x \right )=cosx-sinx\\f'\left ( x \right )=0\Rightarrow sin\left ( \frac{\pi}{4}-x \right )=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции f(x) = sin(x) + cos(x), нужно сначала найти её производную и решить уравнение f'(x) = 0, чтобы найти точки, где производная обращается в ноль. Затем мы проверим вторую производную, чтобы определить, являются ли эти точки экстремумами и, если да, то максимумами или минимумами.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx(sin(x) + cos(x)) = cos(x) - sin(x).

2. Теперь решим уравнение f'(x) = 0: cos(x) - sin(x) = 0.

Для решения этого уравнения мы можем поделить обе стороны на sqrt(2) (чтобы избавиться от знаменателя): (cos(x) - sin(x)) / sqrt(2) = 0.

Теперь мы видим, что cos(x) - sin(x) равно нулю, когда cos(x) = sin(x). Это происходит при угле 45 градусов или π/4 радиан (поскольку sin(π/4) = cos(π/4) = sqrt(2)/2). Таким образом, одна из точек экстремума находится при x = π/4.

3. Чтобы определить, является ли это точкой минимума или максимума, найдем вторую производную f''(x): f''(x) = d^2/dx^2(cos(x) - sin(x)) = -cos(x) - sin(x).

Теперь подставим x = π/4 во вторую производную: f''(π/4) = -cos(π/4) - sin(π/4) = -sqrt(2)/2 - sqrt(2)/2 = -sqrt(2).

Поскольку вторая производная отрицательна, это означает, что x = π/4 является точкой максимума функции f(x) = sin(x) + cos(x).

Таким образом, единственный экстремум функции f(x) равен: x = π/4, f(π/4) = sin(π/4) + cos(π/4) = sqrt(2)/2 + sqrt(2)/2 = sqrt(2).