Question

Найдите неопределенный интеграл методом интегрирования по частям:(x-8) cos xdx​

Answer 1

Ответ:

$\int\limits(x - 8) \cos(x) dx$

$U = x - 8 \: \: \: \: \: \: \: dU = dx \\ dV = \cos(x) \: \: \: \: \: \: V = \sin(x)$

$UV - \int\limits \: VdU = \\ = (x - 8) \sin(x) - \int\limits \sin(x) dx = \\ = (x - 8) \sin(x) + \cos(x) + C$

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла от выражения $(x-8)\cos(x)dx$, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

$\int u dv = uv - \int v du$,

где $u$ и $dv$ - это две функции, которые мы выбираем, чтобы произвести интегрирование по частям, а $du$ и $v$ - их дифференциалы.

Давайте выберем $u = (x-8)$ и $dv = \cos(x)dx$. Затем найдем их дифференциалы:

$du = dx$, $v = \int \cos(x)dx = \sin(x)$.

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

$\int (x-8)\cos(x)dx = uv - \int v du$ $\int (x-8)\cos(x)dx = (x-8)\sin(x) - \int \sin(x)dx$.

Теперь вычислим интеграл $\int \sin(x)dx$, который является простым интегралом:

$\int \sin(x)dx = -\cos(x) + C$,

где $C$ - постоянная интеграции.

Теперь мы можем подставить это значение в нашу формулу:

$(x-8)\sin(x) - \int \sin(x)dx = (x-8)\sin(x) + \cos(x) + C$.

Итак, неопределенный интеграл $\int (x-8)\cos(x)dx$ равен:

$(x-8)\sin(x) + \cos(x) + C$,

где $C$ - произвольная постоянная интеграции.