Question

Очень надо! Вычисли производную функции f(x)=4 ln(4x+4). Вычисли производную функции f(x)=5log2(5x+8)+5log4(9x+4).

Answer 1

Ответ:

$5(log(2)(5x + 8) + log(4)(9x + 4) \\ \\ y. = 5( \frac{5}{(5x + 8)ln2} + \frac{9}{(9x + 4)ln4} )$

Answer 2

Давайте начнем с вычисления производной функции $f(x) = 4 \ln(4x + 4)$.

Для вычисления производной натурального логарифма $\ln(u)$, где $u$ - это функция от $x$, мы используем правило цепочки (chain rule). Правило цепочки гласит, что производная $\ln(u)$ по $x$ равна $\frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$.

В данном случае $u = 4x + 4$, поэтому:

$$\frac{du}{dx} = 4$$

Теперь мы можем вычислить производную $\ln(4x + 4)$ по $x$:

$$\frac{d}{dx} \ln(4x + 4) = \frac{1}{4x + 4} \cdot 4 = \frac{4}{4x + 4}$$

Теперь перейдем ко второй функции $f(x) = 5\log_2(5x + 8) + 5\log_4(9x + 4)$.

Для производной логарифма по основанию $a$, где $a$ - это константа, мы используем следующее правило:

$$\frac{d}{dx} \log_a(u) = \frac{1}{u \ln(a)} \cdot \frac{du}{dx}$$

Для первого члена $5\log_2(5x + 8)$, $a = 2$ и $u = 5x + 8$, поэтому:

$$\frac{du}{dx} = 5$$

Теперь вычислим производную первого члена:

$$\frac{d}{dx} [5\log_2(5x + 8)] = \frac{1}{(5x + 8) \ln(2)} \cdot 5 = \frac{5}{(5x + 8) \ln(2)}$$

Для второго члена $5\log_4(9x + 4)$, $a = 4$ и $u = 9x + 4$, поэтому:

$$\frac{du}{dx} = 9$$

Теперь вычислим производную второго члена:

$$\frac{d}{dx} [5\log_4(9x + 4)] = \frac{1}{(9x + 4) \ln(4)} \cdot 9 = \frac{9}{(9x + 4) \ln(4)}$$

Теперь объединим оба члена:

$$f'(x) = \frac{5}{(5x + 8) \ln(2)} + \frac{9}{(9x + 4) \ln(4)}$$

Это и есть производная функции $f(x)$.