Question

Решить дифференциальные уравнения: 1) y'=x²*eˣ 2) (1+y)dx-(1-x)dy=0 3) (1+x²)dy-2x(y+3)dx=0, y(0)=-1

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ y'=x^2\cdot e^{x}\ \ ,\ \ \ \dfrac{dy}{dx}=x^2\cdot e^{x}\ \ ,\ \ \ \ \int dy=\int x^2\cdot e^{x}\, dx\ \ \ ,\\\\\int x^2\cdot e^{x}\, dx=\Big[\ u=x^2\ ,\ du=2x\, dx\ ,\ dv=e^{x}\, dx\ ,\ v=e^{x}\ \Big]=\\\\=x^2\cdot e^{x}-2\int x\cdot e^{x}\, dx=\Big[\ u=x\ ,\ du=dx\ ,\ v=e^{x}\ \Big]=\\\\=x^2\cdot e^{x}-2\cdot \Big(x\cdot e^{x}-\int e^{x}\, dx\Big)=x^2\cdot e^{x}-2x\cdot e^{x}+2\, e^{x}+C=\\\\=e^{x}\cdot (x^2-2x+2)+C$

$2)\ \ (1+y)\, dx-(1-x)\, dy=0\\\\\int \dfrac{dx}{1-x}=\int \dfrac{dy}{1+y}\\\\-ln|1-x|=ln|1+y|+ln|C|\\\\\dfrac{1}{1-x}=C\cdot (1+y)\ \ \ ,\ \ \ 1+y=\dfrac{1}{C\, (1-x)}\ \ ,\ \ \ y=\dfrac{1}{C\, (1-x)}-1\ .$

$3)\ \ (1+x^2)\, dy-2x\, (y+3)\, dx=0\ \ ,\ \ \ y(0)=1\\\\\int \dfrac{dy}{y+3}=\int \dfrac{2x\, dx}{x^2+1} \ \ ,\ \ \ ln|y+3|=ln|x^2+1|+ln|C|\ \ \ ,\\\\\\y+3=C\, (x^2+1)\ \ ,\ \ \ y=C\, (x^2+1)-3\\\\y(0)=1:\ \ 1=C\, (0+1)-3\ \ ,\ \ C=4\\\\y_{chastn.}=4\, (x^2+1)-3$

Answer 2

Давайте решим данные дифференциальные уравнения по очереди:

1. y' = x^2 * e^x

Это дифференциальное уравнение разделяющихся переменных. Для его решения можно выразить dy и dx:

dy = x^2 * e^x dx

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(1/y) dy = ∫x^2 * e^x dx

Левая сторона:

ln|y| = C1, где C1 - постоянная интеграции.

Правая сторона:

Интегрируем x^2 * e^x по частям:

∫x^2 * e^x dx = x^2 * e^x - 2∫x * e^x dx

Снова интегрируем второй член по частям:

∫x * e^x dx = x * e^x - ∫e^x dx = x * e^x - e^x

Теперь подставим это обратно в правую сторону:

x^2 * e^x - 2(x * e^x - e^x) + C2 = x^2 * e^x - 2x * e^x + 2e^x + C2, где C2 - другая постоянная интеграции.

Теперь объединим постоянные:

x^2 * e^x - 2x * e^x + 2e^x + C = ln|y|

Где C = C1 - C2.

Используя свойство логарифма:

|y| = e^C * e^(x^2 * e^x - 2x * e^x + 2e^x)

|y| = C' * e^(x^2 * e^x - 2x * e^x + 2e^x), где C' = e^C

Теперь учтем, что y может быть положительным или отрицательным, поэтому уберем модуль:

y = ±C' * e^(x^2 * e^x - 2x * e^x + 2e^x)

Это общее решение данного дифференциального уравнения.

2. (1+y)dx - (1-x)dy = 0

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решение можно получить, выразив y:

(1+y)dx = (1-x)dy

(1+y)/dy = (1-x)/dx

dy/(1+y) = dx/(1-x)

Интегрируем обе стороны:

∫(1/(1+y)) dy = ∫(1/(1-x)) dx

ln|1+y| = -ln|1-x| + C1

Используя свойства логарифмов:

ln|1+y| + ln|1-x| = C1

ln|1+y(1-x)| = C1

Теперь возведем обе стороны в экспоненту:

1+y(1-x) = e^C1

1+y(1-x) = C2, где C2 = e^C1

Теперь выразим y:

y(1-x) = C2 - 1

y = (C2 - 1)/(1-x)

Это общее решение данного дифференциального уравнения.

3. (1+x^2)dy - 2x(y+3)dx = 0, y(0) = -1

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Для начала, давайте его перепишем в виде:

dy/dx = (2x(y+3))/(1+x^2)

Теперь решим его. Сначала найдем общее решение:

dy/dx = (2x(y+3))/(1+x^2)

dy/(y+3) = (2x dx)/(1+x^2)

Интегрируем обе стороны:

∫(1/(y+3)) dy = ∫(2x/(1+x^2)) dx

ln|y+3| = ∫(2x/(1+x^2)) dx

Интегрируем правую сторону, используя замену u = 1 + x^2:

∫(2x/(1+x^2)) dx = ∫(2du/u) = 2ln|u| + C1 = 2ln|1+x^2| + C1

Теперь вернемся к левой стороне:

ln|y+3| = 2ln|1+x^2| + C1

Используя свойства логарифмов:

ln|y+3| - 2ln|1+x^2| = C1

ln|y+3|/|1+x^2|^2 = C1

Теперь возведем обе стороны в экспоненту:

|y+3|/|1+x^2|^2 = e^C1

|y+3|/|1+x^2|^2 = C2, где C2 = e^C1

Теперь учтем начальное условие y(0) = -1:

|(-1)+3|/|1+0^2|^2 = C2

|2|/|1|^2 = C2

C2 = 2

Теперь можем выразить |y+3|:

|y+3| = 2|1+x^2|^2

Так как |a| = a или -a, получаем два случая:

1. y + 3 = 2(1+x^2)^2 y = 2(1+x^2)^2 - 3

2. -(y + 3) = 2(1+x^2)^2 y = -2(1+x^2)^2 - 3

Итак, это два решения данного дифференциального уравнения с начальным условием y(0) = -1.