Question

Доведіть, що різниця квадратів двох цілих чисел, взятих через 1, ділиться на 4​

Answer 1

Ответ:

Пусть х -первое число, тогда (х+2) - второе число. х² - квадрат первого числа, (х+2)² - квадрат второго числа.

(x+2)²-x²=(x+2-x)(x+2+x)=2(2x+2)=2*2(x+1)=4*(x+1).

Результат имеет два множителя: 4 и (х+1), а значит полученное выражение будет делиться на 4.

Answer 2

Для доведення цього твердження розглянемо два цілих числа, позначимо їх як "а" і "b". Ми хочемо довести, що різниця їхніх квадратів, взятих через 1, ділиться на 4.

Різниця квадратів "а" і "b" взятих через 1 виглядає так:

(a + 1)^2 - (b + 1)^2

Ми можемо використовувати різницю квадратів для спрощення цього виразу:

((a + 1) + (b + 1))((a + 1) - (b + 1))

Тепер спростимо обидва доданки:

Перший доданок ((a + 1) + (b + 1)) можна записати як (a + b + 2). Другий доданок ((a + 1) - (b + 1)) можна записати як (a - b).

Тепер ми маємо:

(a + b + 2)(a - b)

Тепер розглянемо цей вираз. Вираз (a + b) є сумою двох цілих чисел і завжди буде цілим числом, оскільки цілі числа замкнуті в операції додавання. Так само, вираз (a - b) буде цілим числом.

Отже, весь вираз (a + b + 2)(a - b) буде добутком двох цілих чисел і також буде цілим числом.

Тепер ми маємо ціле число, яке ділиться на 4. Це означає, що різниця квадратів "а" і "b" взятих через 1, ділиться на 4. Таким чином, твердження доведено.