Question

Упорстите выражение 1) tg(a + B) - tgа×tgB×tg(а + B);​

Answer 1

tg(a+B) - tg(a)·tg(B)·tg(a+B) = tg(a+B)·(1 - tg(a)·tg(B)) =

$\frac{tg(a) + tg(B)}{1 - tg(a)\cdot tg(B)}\cdot(1 - tg(a)\cdot tg(B)) =$

$= tg(a) + tg(B)$

Answer 2

Для упрощения данного выражения, воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Используем следующее тригонометрическое тождество: $\tan(x + y) = \frac{\tan(x) + \tan(y)}{1 - \tan(x) \cdot \tan(y)}$

В данном случае, мы имеем $x = a$ и $y = B$, поэтому: $\tan(a + B) = \frac{\tan(a) + \tan(B)}{1 - \tan(a) \cdot \tan(B)}$

Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\tan(a + B) - \tan(a) \cdot \tan(B) \cdot \tan(a + B) = \frac{\tan(a) + \tan(B)}{1 - \tan(a) \cdot \tan(B)} - \tan(a) \cdot \tan(B) \cdot \frac{\tan(a) + \tan(B)}{1 - \tan(a) \cdot \tan(B)}$

Теперь у нас есть общий знаменатель, который можно объединить: $\frac{\tan(a) + \tan(B) - \tan(a) \cdot \tan(B) \cdot (\tan(a) + \tan(B))}{1 - \tan(a) \cdot \tan(B)}$

Теперь упростим числитель: $\tan(a) + \tan(B) - \tan(a) \cdot \tan(B) \cdot \tan(a) - \tan(a) \cdot \tan(B) \cdot \tan(B) = \tan(a) + \tan(B) - \tan(a) \cdot \tan(B) \cdot (\tan(a) + \tan(B))$

Теперь можно вынести общий множитель $\tan(a) + \tan(B)$ за скобки: $(\tan(a) + \tan(B))(1 - \tan(a) \cdot \tan(B))$

Итак, упрощенное выражение: $\frac{(\tan(a) + \tan(B))(1 - \tan(a) \cdot \tan(B))}{1 - \tan(a) \cdot \tan(B)}$

Теперь заметим, что $(1 - \tan(a) \cdot \tan(B))$ в числителе и знаменателе сокращается: $\frac{(\tan(a) + \tan(B))(1 - \tan(a) \cdot \tan(B))}{1 - \tan(a) \cdot \tan(B)} = \tan(a) + \tan(B)$

Итак, упрощенное выражение равно $\tan(a) + \tan(B)$.