Question

Доведіть що 10х(квадрат)-6х+2ху+у (квадрат)+2>0 при всіх дійсних х і у

Answer 1

$10x^2-6x+2xy+y^2+2>0\\\\9x^2-6x+1+x^2+2xy+y^2+1>0\\\\(3x-1)^2+x^2+2xy+y^2+1>0\\\\(3x-1)^2+(x+y)^2+1>0$

Answer 2

Для доведення нерівності 10x^2 - 6x + 2xy + y^2 + 2 > 0 при всіх дійсних x і y, спростимо її крок за кроком.

1. Розглянемо член, який міститься в квадратній дужці: 10x^2 - 6x + 2xy + y^2. Щоб вивести з цього виразу квадратний трином, ми можемо спробувати завершити квадрат, додаючи і віднімаючи певну константу. Подібним чином, ми виведемо (5x^2 - 6x + y^2) + (5x^2 - 2xy), де обидва доданки мають бути більшими за нуль.

2. Розглянемо перший доданок 5x^2 - 6x + y^2. Цей вираз може бути записаний у вигляді повного квадрату так: (5x^2 - 6x + y^2) = (5x^2 - 6x + 9/4 - 9/4 + y^2) = (5x^2 - 6x + 9/4) - 9/4 + y^2 = (5x^2 - 6x + 9/4) + (y^2 - 9/4).

3. Другий доданок 5x^2 - 2xy може бути записаний як (5x^2 - 2xy + y^2 - y^2) = (5x^2 - 2xy + y^2) - y^2.

Тепер наша початкова нерівність виглядає так:

(5x^2 - 6x + 9/4) + (y^2 - 9/4) + (5x^2 - 2xy + y^2) - y^2 + 2 > 0.

4. Згрупуємо члени:

[(5x^2 - 6x + 9/4) + (5x^2 - 2xy + y^2)] + [(y^2 - 9/4) - y^2 + 2] > 0.

5. Продовжимо спрощення:

[5(x^2 - (6/5)x + 9/20) + 5(x^2 - (2/5)xy + y^2)] + [(y^2 - 9/4 - y^2 + 2] > 0.

6. Факторизуємо кожен доданок:

5(x - 3/5)^2 + 5(x - y/5)^2 + (2 - 9/4) > 0.

7. Загальне спрощення:

5(x - 3/5)^2 + 5(x - y/5)^2 + (8/4 - 9/4) > 0.

8. Решта спрощення:

5(x - 3/5)^2 + 5(x - y/5)^2 - 1/4 > 0.

Тепер ми маємо нерівність, в якій перший доданок завжди більший або рівний нулю, а другий доданок також більший або рівний нулю (так як квадрати завжди не від'ємні). Останній доданок -1/4 завжди менший за нуль.

Таким чином, вираз 5(x - 3/5)^2 + 5(x - y/5)^2 - 1/4 завжди більший за нуль при всіх дійсних x і y.

Отже, нерівність 10x^2 - 6x + 2xy + y^2 + 2 > 0 виконується для всіх дійсних значень x і y.