Question

А)решите уравнение 2cos в квадрате (3П/2+х)=sin2x Б)укажите корни этого уравнения , принадлежащие отрезку [-9п/2;-3п{

Answer 1

Ответ:

A) = 3•n/2+xsin(2x)

Б) = -9•n/2 -3n

Answer 2

Давайте начнем с уравнения:

$2\cos^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin(2x).$

Сначала упростим левую сторону уравнения, используя тригонометрические идентичности:

$2\cos^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = 2\sin^2(x) = 1 - \cos(2x).$

Теперь уравнение выглядит так:

$1 - \cos(2x) = \sin(2x).$

Перенесем все члены уравнения влево:

$\sin(2x) + \cos(2x) - 1 = 0.$

Сделаем замену $t = \tan(x)$. Тогда $\sin(2x) = \frac{2t}{1 + t^2}$ и $\cos(2x) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$. Подставим это в уравнение:

$\frac{2t}{1 + t^2} + \frac{1 - t^2}{1 + t^2} - 1 = 0.$

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной $t$:

$\frac{2t + 1 - t^2 - 1 - t^2}{1 + t^2} = 0.$

Упростим его:

$\frac{-2t^2 + 2t}{1 + t^2} = 0.$

Теперь можно решить это уравнение. Сначала вынесем общий множитель:

$\frac{2t(-t + 1)}{1 + t^2} = 0.$

Уравнение имеет два множителя: $2t = 0$ и $-t + 1 = 0$.

1. $2t = 0$ дает нам $t = 0$.
2. $-t + 1 = 0$ дает $t = 1$.

Теперь мы знаем значения $t$, но нам нужно вернуться к $x$, так как мы ввели замену $t = \tan(x)$.

1. Когда $t = 0$, $\tan(x) = 0$, что означает $x = n\pi$, где $n$ - целое число.
2. Когда $t = 1$, $\tan(x) = 1$, что означает $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$, где $n$ - целое число.

Теперь у нас есть все корни уравнения. Чтобы найти корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{9\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}\right]$, мы должны учесть, что $x$ должен быть в этом диапазоне. Диапазон $\left[-\frac{9\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}\right]$ включает в себя множество значений $x$, которые можно записать как:

$x = -\frac{9\pi}{2} + 2n\pi, -\frac{7\pi}{2} + 2n\pi, -\frac{5\pi}{2} + 2n\pi, -\frac{3\pi}{2} + 2n\pi,$

где $n$ - целое число.

Таким образом, корни уравнения на данном интервале будут:

$x = -\frac{9\pi}{2}, -\frac{7\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{7\pi}{4}, -\frac{5\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}.$