Question

Найти полный дифференциал функций 1) z=2x³+xy 2) z=x³-2xy²

Answer 1

1.

$z = 2 {x}^{3} + xy$

$Z'_x = 6 {x}^{2} + y \\ Z'_y = x \\ dz = (6 {x}^{2} + y)dx + xdy$

2.

$z = {x}^{3} - 2x {y}^{2}$

$Z'_x = 3 {x}^{2} - 2 {y}^{2} \\ Z'_y = - 4xy \\ dz = (3 {x}^{2} - 2 {y}^{2}) dx - 4xydy$

Answer 2

Чтобы найти полный дифференциал функции, мы можем взять частные производные по всем независимым переменным и затем умножить их на соответствующие дифференциалы переменных. Давайте найдем полные дифференциалы для данных функций:

1. Для функции z = 2x³ + xy:

Частные производные: ∂z/∂x = 6x² + y ∂z/∂y = x

Теперь найдем полный дифференциал dz: dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy dz = (6x² + y)dx + xdy

2. Для функции z = x³ - 2xy²:

Частные производные: ∂z/∂x = 3x² - 2y² ∂z/∂y = -4xy

Теперь найдем полный дифференциал dz: dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy dz = (3x² - 2y²)dx - 4xydy

Вот полные дифференциалы для данных функций.