Question

Из суммы квадратов двух последовательных целых чисел вычли квадрат последующего за ними числа. Получилось 77. Найти эти числа.

Answer 1

Ответ:

$-8 \quad , \quad -7 \quad , \quad -6 \quad ;$

$10 \quad , \quad 11 \quad , \quad 12 \quad ;$

Объяснение:

$x^{2}+(x+1)^{2}-(x+2)^{2}=77;$

$x^{2}+x^{2}+2x+1-x^{2}-4x-4-77=0;$

$x^{2}-2x-80=0;$

$\displaystyle \left \{ {{x_{1}+x_{2}=-(-2)} \atop {x_{1} \cdot x_{2}=-80}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x_{1}+x_{2}=2} \atop {x_{1} \cdot x_{2}=-80}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x_{1}=-8} \atop {x_{2}=10}} \right. ;$

$x_{1}=-8 \Rightarrow x_{1}+1=-7, \quad x_{1}+2=-6;$

$(-8)^{2}+(-7)^{2}-(-6)^{2}=64+49-36=64+13=77;$

$x_{2}=10 \Rightarrow x_{2}+1=11, \quad x_{2}+2=12;$

$10^{2}+11^{2}-12^{2}=100+121-144=100-23=77;$

Answer 2

Давайте обозначим два последовательных целых числа как "n" и "n+1". Тогда сумма их квадратов будет:

n^2 + (n+1)^2

Квадрат последующего за ними числа "n+2" будет равен:

(n+2)^2

Теперь у нас есть уравнение:

n^2 + (n+1)^2 - (n+2)^2 = 77

Раскроем скобки и упростим уравнение:

n^2 + n^2 + 2n + 1 - (n^2 + 4n + 4) = 77

n^2 + n^2 + 2n + 1 - n^2 - 4n - 4 = 77

n^2 - 2n - 3 = 77

Теперь выразим это уравнение в квадратном виде:

n^2 - 2n - 3 - 77 = 0

n^2 - 2n - 80 = 0

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем разложить его на множители:

(n - 10)(n + 8) = 0

Из этого получаем два возможных значения для "n":

1. n - 10 = 0, что означает, что n = 10.
2. n + 8 = 0, что означает, что n = -8.

Теперь, когда у нас есть значения для "n", мы можем найти соответствующие числа:

1. Если n = 10, то два последовательных целых числа - 10 и 11.
2. Если n = -8, то два последовательных целых числа - (-8) и (-7).

Итак, две пары последовательных целых чисел, для которых сумма квадратов двух из них минус квадрат третьего равна 77, это (10, 11) и (-8, -7).