Question

Алгебра, даю 30 баллов!!! Найдите все значения а, при которых имеет корни уравнение tg(x)=√a-1

Answer 1

$\mathrm{tg}\,x=\sqrt{a} -1$

Уравнение вида $\mathrm{tg}\,x=y$ при любом $y$ имеет корни $x=\mathrm{arctg}\,y+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Значит, в правой части уравнения может стоять в принципе любое число. Однако, нужно учесть область допустимых значений выражения $\sqrt{a} -1$.

Под знаком квадратного корня может стоять только неотрицательное число:

$a\geq 0$

Значит, при $a\geq 0$ уравнение $\mathrm{tg}\,x=\sqrt{a} -1$ имеет корни.

Ответ: при $a\geq 0$

Answer 2

Чтобы найти все значения параметра "a", при которых уравнение $\tan(x) = \sqrt{a} - 1$ имеет корни, давайте рассмотрим это уравнение.

Сначала давайте выразим $\tan(x)$ и преобразуем уравнение:

$\tan(x) = \sqrt{a} - 1$

$\tan(x) + 1 = \sqrt{a}$

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

$(\tan(x) + 1)^2 = a$

Раскроем квадрат слева:

$\tan^2(x) + 2\tan(x) + 1 = a$

Теперь мы видим, что это квадратное уравнение относительно $a$, и мы хотим найти все значения $a$, при которых уравнение имеет корни. Для этого уравнение должно иметь действительные корни, то есть дискриминант должен быть неотрицательным:

$D \geq 0$

Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

В нашем случае $a = 1$, $b = 2$, и $c = 1$, поэтому:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$

Таким образом, дискриминант равен нулю, и это означает, что уравнение $\tan^2(x) + 2\tan(x) + 1 = a$ имеет один действительный корень.

Теперь мы знаем, что уравнение имеет корень при любом значении $a$, так как дискриминант равен нулю. То есть, для всех действительных чисел $a$ уравнение $\tan^2(x) + 2\tan(x) + 1 = a$ имеет хотя бы один корень $x$.