Question

Вычислите: 1) arccos(sin()) 2) arctg(ctg())

Answer 1

Ответ:

$1) \ arccos\left(sin\frac{8\pi}{7} \right)=\frac{9\pi}{14} \\ \\ 2) \ arctg\left(ctg\frac{6\pi}{5} \right)=\frac{3\pi}{10}$

Объяснение:

по формулам приведения:

$sinx=cos\left(\frac{\pi}{2}-x \right) \\ \\ ctgx=tg\left(\frac{\pi}{2}-x \right)$

Также необходимо знать, что

$arccos(cosx)=x, \ 0\leq x\leq \pi \\ \\ arctg(tgx)=x, \ -\frac{\pi }{2} < x< \frac{\pi }{2}$

Решение:

$1) \ arccos\left(sin\frac{8\pi}{7} \right) =arccos\left(cos \left(\frac{\pi}{2}- \frac{8\pi}{7} \right)\right) =arccos\left(cos \left(- \frac{9\pi}{14} \right)\right)=(*)$

Но -9π/14 не находится на отрезке от 0 до π. A 9π/14 как раз принадлежит этому отрезку. Значит воспользуемся свойством четности косинуса:

cos(-x)=cosx

Тогда продолжая цепочку, получаем:

$(*)=arccos\left(cos\frac{9\pi}{14}\right)=\frac{9\pi}{14} \\ \\ 2) \ arctg\left(ctg\frac{6\pi}{5}\right)=arctg\left(tg\left(\frac{\pi}{2}-\frac{6\pi}{5}\right)\right)=arctg\left(tg\left(-\frac{7\pi}{10}\right)\right)=(*)$

-7π/10 не принадлежит интервалу от -π/2 до π/2. Воспользуемся свойством периодичности тангенса:

tgx=tg(x±π)

$(*)=arctg\left(tg\left(-\frac{7\pi}{10}+\pi\right)\right)=arctg\left(tg\frac{3\pi}{10}\right)=\frac{3\pi}{10}$

Answer 2

Для вычисления данных выражений, нам потребуется знать значения функций sin и ctg внутри арккосинуса и арктангенса соответственно.

1. arccos(sin(x)): Значение sin(x) лежит в диапазоне [-1, 1]. Для arccos(x) допустимыми значениями аргумента являются числа в интервале [-1, 1]. Если sin(x) находится в этом интервале, то выражение имеет смысл. В противном случае, результат будет комплексным числом.

2. arctan(ctg(x)): Значение ctg(x) (котангенса) равно 1/tan(x). Так как tan(x) не определен в точках, где cos(x) = 0 (например, при x = π/2 + kπ, где k - целое число), то ctg(x) также не определен в таких точках. Таким образом, выражение arctan(ctg(x)) имеет смысл только в тех точках, где ctg(x) определен.

Пожалуйста, предоставьте конкретные значения аргументов x, чтобы можно было вычислить эти выражения.