Question

Определите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=lnx-x​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

f(x)=lnx-x​

D(f)=(0;+∞)

f'(x)=(1/x)-x=(1-x²)/x=(1-x)(1+x)/x=0

x=1

f(1)=-1

0--------------------1-------------------->

f'(x)          +                   -

f(x) возрастает при x∈(0;1]

       убывает при х∈[1;+∞)

в точке (1;-1) максимум

Answer 2

Для определения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = \ln(x) - x$, нам необходимо найти её производную и решить неравенство $f'(x) > 0$ для промежутков возрастания и $f'(x) < 0$ для промежутков убывания.

1. Найдем производную $f(x)$: $f'(x) = \frac{1}{x} - 1$

2. Теперь решим неравенство $\frac{1}{x} - 1 > 0$: $\frac{1}{x} > 1$ Это неравенство выполняется, когда $x > 1$.

Таким образом, функция $f(x) = \ln(x) - x$ возрастает при $x > 1$ и убывает при $x < 1$.

Чтобы найти точки экстремума, необходимо найти значения $x$, при которых производная равна нулю ($f'(x) = 0$). В данном случае: $\frac{1}{x} - 1 = 0$ $\frac{1}{x} = 1$ $x = 1$

Таким образом, точка $x = 1$ может быть точкой экстремума. Чтобы определить характер экстремума (минимум или максимум), необходимо проанализировать знак второй производной $f''(x)$ в этой точке.

3. Найдем вторую производную $f(x)$: $f''(x) = -\frac{1}{x^2}$

4. Подставим $x = 1$ во вторую производную: $f''(1) = -1$

Поскольку $f''(1) < 0$, то в точке $x = 1$ функция имеет локальный максимум.

Итак, краткий анализ показывает, что функция $f(x) = \ln(x) - x$ возрастает при $x > 1$ и имеет локальный максимум в точке $x = 1$, а также убывает при $x < 1$.