Question

СРОЧНО ДАЮ 15 БАЛЛОВ!!! Из точки, лежащей вне окружности, к ней проведены две секущие, внутренние отрезки которых соответственно равны 8 и 16. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше, чем внешний отрезок первой. Найти длину обеих секущих.

Answer 1

Ответ:

10,5; 17,5.

Объяснение:

Задание

Из точки, лежащей вне окружности, к ней проведены две секущие, внутренние отрезки которых соответственно равны 8 и 16. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше, чем внешний отрезок первой. Найти длину обеих секущих.

Решение

Если две секущие проведены из одной точки, то произведение длины секущей на её внешнюю часть является для обеих секущих константой.

Пусть х - внешний отрезок первой секущей, тогда (х-1) - внешний отрезок второй секущей; соответственно длина первой секущей (8+х), а второй секущей (16+х-1) = (15+х).

Составим уравнением и найдём х:

(8+х)·х = (15+х)·(х-1)

8х + х² = 15х - 15 + х² - х

15х - 15 + х² - х - 8х - х² = 0

6х = 15

х = 15 : 6 = 2,5

Длина первой секущей:

8 + 2,5 = 10,5

Длина второй секущей:

16 + 2,5 - 1 = 17,5

ПРОВЕРКА

10,5 · 2,5 = 26,25

17,5 · 1,5 = 26,25

26,25 = 26,25

Ответ: длина первой секущей = 10,5; длина второй секущей = 17,5

 

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

1. Радиус окружности - $R$.
2. Расстояние от точки, лежащей вне окружности, до центра окружности - $d$.
3. Длина первой секущей - $AB = 8$.
4. Длина второй секущей - $CD = 16$.
5. Внешний отрезок первой секущей - $AE$.
6. Внешний отрезок второй секущей - $CF$.

Также у нас есть условие, что внешний отрезок второй секущей на 1 меньше, чем внешний отрезок первой, то есть $CF = AE - 1$.

Мы можем использовать теорему Пифагора для треугольников $ABE$ и $BCF$, так как у них прямые углы.

В треугольнике $ABE$ (где $AE$ - гипотенуза), у нас есть:

$$AE^2 = AB^2 + BE^2$$

В треугольнике $BCF$ (где $CF$ - гипотенуза), у нас есть:

$$CF^2 = BC^2 + BF^2$$

Нам также известно, что длина второй секущей равна 16, то есть $BC = 16$. Из условия мы знаем, что $CF = AE - 1$.

Теперь давайте рассмотрим треугольник $ABE$. Мы можем выразить $BE$ из первого уравнения:

$$BE = \sqrt{AE^2 - AB^2}$$

Теперь мы можем подставить это значение $BE$ во второе уравнение для треугольника $BCF$:

$$CF^2 = 16^2 + \left(\sqrt{AE^2 - 8^2}\right)^2$$

Теперь подставим значение $CF = AE - 1$:

$$(AE - 1)^2 = 16^2 + \left(\sqrt{AE^2 - 8^2}\right)^2$$

Раскроем квадрат слева:

$$AE^2 - 2AE + 1 = 16^2 + AE^2 - 8^2$$

Теперь выразим $AE^2$:

$$AE^2 - AE^2 + 2AE - 1 = 16^2 - 8^2$$

Упростим:

$$2AE - 1 = 240$$

Теперь добавим 1 к обеим сторонам:

$$2AE = 241$$

И разделим на 2:

$$AE = 120.5$$

Теперь, когда мы знаем длину внешнего отрезка первой секущей ($AE$), мы можем найти длину внешнего отрезка второй секущей ($CF$):

$$CF = AE - 1 = 120.5 - 1 = 119.5$$

Итак, длина внешнего отрезка первой секущей ($AE$) равна 120.5, а длина внешнего отрезка второй секущей ($CF$) равна 119.5.