Question

Докажите тождество (a+b)ˆ2(a-b)-2ab(b-a)-6ab(a-b)=(a-b)ˆ2

Answer 1

Ответ:

Доказать тождество:

1)   (a+b)² (a-b) - 2ab(b-a) - 6ab(a-b) =(a -b)³ .

(a+b)² (a-b) - 2ab(b-a) - 6ab(a-b) =(a-b)( ( a+b)² +2ab - 6ab ) =

(a-b)(a² +2ab +b² +2ab -6ab) =(a-b)(a² -2ab +b² ) =(a-b)(a -b)²  =(a -b)³ .

---

2)   (a² +b²)(a⁴  - a²b² +b⁴) +(a³ -b³)(a³ +b³ ) =2a⁶.

(a² +b²)(a⁴  - a²b² +b⁴) +(a³ -b³)(a³ +b³ ) = (a²)³ +(b²)³  +(a³)²  -(b³)² =

(a²)³ +(b²)³  +(a³)²  - (b³)²  =a⁶ +b⁶ + a⁶ - b⁶ =2a⁶.

---

3) (a²+b²)(c²+d²)= (ac+bd)²+(ad-bc)² .  

(a²+b²)(c²+d²) =a²c² +a²d² + b²c² + b²d²  =

(a²c² +2*ac*bd+ b²d²)     +(a²d² - 2*ad*bc+ b²c² ) = (ac+bd)²+(ad-bc)² .

---

4) (a²+cb²)(d²+ce²) = (ad+cbe)²+c(ae - bd)² .

(a²+cb²)(d²+ce²)  =a²d² +a²ce² + cb²d² +c²b²e² =(a²d² +c²b²e²)  +c(a²e² + b²d²) =

(a²d² + 2*ad*cbe+c²b²e²)  +c(a²e²  - 2ae*bd+ b²d²) = (ad+cbe)²+c(ae - bd)².

Доказать тождество:

1)   (a+b)² (a-b) - 2ab(b-a) - 6ab(a-b) =(a -b)³ .

(a+b)² (a-b) - 2ab(b-a) - 6ab(a-b) =(a-b)( ( a+b)² +2ab - 6ab ) =

(a-b)(a² +2ab +b² +2ab -6ab) =(a-b)(a² -2ab +b² ) =(a-b)(a -b)²  =(a -b)³ .

---

2)   (a² +b²)(a⁴  - a²b² +b⁴) +(a³ -b³)(a³ +b³ ) =2a⁶.

(a² +b²)(a⁴  - a²b² +b⁴) +(a³ -b³)(a³ +b³ ) = (a²)³ +(b²)³  +(a³)²  -(b³)² =

(a²)³ +(b²)³  +(a³)²  - (b³)²  =a⁶ +b⁶ + a⁶ - b⁶ =2a⁶.

---

3) (a²+b²)(c²+d²)= (ac+bd)²+(ad-bc)² .  

(a²+b²)(c²+d²) =a²c² +a²d² + b²c² + b²d²  =

(a²c² +2*ac*bd+ b²d²)     +(a²d² - 2*ad*bc+ b²c² ) = (ac+bd)²+(ad-bc)² .

---

4) (a²+cb²)(d²+ce²) = (ad+cbe)²+c(ae - bd)² .

(a²+cb²)(d²+ce²)  =a²d² +a²ce² + cb²d² +c²b²e² =(a²d² +c²b²e²)  +c(a²e² + b²d²) =

(a²d² + 2*ad*cbe+c²b²e²)  +c(a²e²  - 2ae*bd+ b²d²) = (ad+cbe)²+c(ae - bd)².

Объяснение:

For ♕☯

Answer 2

Давайте докажем данное тождество шаг за шагом, используя свойства алгебры. Исходное тождество:

(a+b)²(a-b) - 2ab(b-a) - 6ab(a-b) = (a-b)²

Давайте начнем с левой стороны уравнения:

(a+b)²(a-b) - 2ab(b-a) - 6ab(a-b)

Сначала упростим квадрат (a+b)²:

(a+b)² = a² + 2ab + b²

Теперь подставим это значение в исходное уравнение:

(a² + 2ab + b²)(a-b) - 2ab(b-a) - 6ab(a-b)

Теперь раскроем скобки:

a²(a-b) + 2ab(a-b) + b²(a-b) - 2ab(b-a) - 6ab(a-b)

Теперь можно упростить каждый из членов:

a²(a-b) = a³ - a²b 2ab(a-b) = 2ab(a-b) b²(a-b) = b³ - b²a -2ab(b-a) = -2ab(b-a) -6ab(a-b) = -6ab(a-b)

Теперь заменяем каждый член в исходном уравнении на его упрощенное значение:

(a³ - a²b) + (2ab) + (b³ - b²a) - (-2ab(b-a)) - (-6ab(a-b))

Теперь упростим выражение:

a³ - a²b + 2ab + b³ - b²a + 2ab + 6ab(a-b)

Теперь объединим подобные члены:

(a³ + b³) + (2ab + 2ab - a²b - b²a + 6ab(a-b))

Теперь упростим каждую из скобок:

a³ + b³ - a²b - b²a + 10ab(a-b)

Теперь заметим, что первые два члена a³ и b³ могут быть объединены согласно формуле суммы кубов:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Итак, мы получаем:

(a + b)(a² - ab + b²) - a²b - b²a + 10ab(a-b)

Теперь факторизуем общие члены:

(a + b)(a² - ab + b² - a² - b² + 10ab)

Теперь упростим скобку a² - ab + b² - a² - b² + 10ab:

• ab + 10ab = 9ab

Итак, остается:

(a + b)(9ab)

Теперь раскроем скобку:

9ab(a + b)

Теперь мы видим, что левая сторона равенства равна:

9ab(a + b)

Теперь давайте посмотрим на правую сторону исходного уравнения:

(a-b)²

Это просто квадрат разности a и b:

(a - b)(a - b)

Теперь раскроем скобки:

a² - 2ab + b²

Теперь мы видим, что правая сторона равенства равна:

a² - 2ab + b²

Теперь сравним обе стороны:

Левая сторона: 9ab(a + b) Правая сторона: a² - 2ab + b²

Мы видим, что обе стороны равенства равны, и тождество доказано:

9ab(a + b) = a² - 2ab + b²

Таким образом, мы успешно доказали данное тождество.