Question

найти действительные корни многочлена h(x)=x^3-7х^2+16х-12 и разложить его на множители.ПЖ СРОЧНО НАДО!!!!

Answer 1

Ответ:

$h(x)=x^3-7x^2+16x-12\\\\x=3:\ \ h(3)=27-7\cdot 9+16\cdot 3-12=27-63+48-12=0\ \ \ \Rightarrow \\\\h(x)=(x-3)\cdot p(x)\\\\{}\ \ \ \ x^3-7x^2+16x-12\ \ |\ \ x-3\\{}\quuad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ --------\\{}\ -(x^3-3x^2)\qquad \qquad \ \ \ \ \ x^2-4x+4\\{}---------\\{}\ \ -4x^2+16x-12\\{}\ \ -(4x^2+12x)\\{}\ ---------\\{}\qquad \ \ \ 4x-12\\{}\qquad -(4x-12)\\{}\ \ \ --------\\{}\qquad \qquad \quad 0\\\\p(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\\\\\\\boxed{\ h(x)=x^3-7x^2+16x-12=(x-3)(x-2)^2\ }$

Answer 2

Давайте найдем действительные корни многочлена $h(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 12$ с помощью метода рациональных корней (теорема о рациональных корнях).

Сначала определим возможные рациональные корни. По теореме о рациональных корнях, они будут представлять собой делители свободного члена (в данном случае -12) поделенные на делители старшего коэффициента (в данном случае 1). Таким образом, возможные рациональные корни многочлена:

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Теперь проверим, какие из этих корней являются корнями многочлена $h(x)$. Подставим каждый из них в $h(x)$ и проверим, равно ли это нулю:

1. Подставим $x = 1$: $h(1) = (1)^3 - 7(1)^2 + 16(1) - 12 = 1 - 7 + 16 - 12 = -2$

2. Подставим $x = -1$: $h(-1) = (-1)^3 - 7(-1)^2 + 16(-1) - 12 = -1 - 7 - 16 - 12 = -36$

3. Подставим $x = 2$: $h(2) = (2)^3 - 7(2)^2 + 16(2) - 12 = 8 - 28 + 32 - 12 = 0$

Таким образом, $x = 2$ является действительным корнем многочлена.

Теперь мы можем разложить многочлен $h(x)$ на множители, используя найденный корень $x = 2$. Для этого используем синтетическое деление:

$h(x) = (x - 2)(x^2 - 5x + 6)$

Таким образом, $h(x)$ разложен на множители: $h(x) = (x - 2)(x^2 - 5x + 6)$.