Question

Y=log0,5(x^2-3x-10) Найдите область определения

Answer 1

Ответ: x∈(-∞;-2)∪(5; ∞)

Объяснение:

по определению логарифма: основание должно не равнятся 1; основание должно быть строго больше 0; аргумент должен быть строго больше 0.

Первое условие и второе условие выполняются, независимо от x. Для нахождения всех x, при которых выполняется третье, нужно сказать, что

$x^2-3x-10>0$

И решить полученное неравенство:

$>0\\x_1=-2\\x_2=5$

x∈(-∞;-2)∪(5; +∞)

То есть все числа, исключая числа из промежутка [-2;5]. Можно также переписать в виде:

x∈R\[-2;5] или x∈(-∞; +∞)\[-2;5]

Answer 2

Для определения области определения данной функции Y = log₀.₅(x² - 3x - 10), нужно учесть следующие моменты:

1. Логарифмы с отрицательным или нулевым аргументом не имеют действительных значений. В данном случае, основание логарифма равно 0.5 (1/2), что является положительным числом. Поэтому необходимо рассмотреть область определения аргумента (x² - 3x - 10), чтобы избежать отрицательных или нулевых значений.

2. Выражение внутри логарифма (x² - 3x - 10) должно быть положительным, так как логарифм отрицательных или нулевых чисел не определен в вещественных числах.

Для нахождения области определения можно решить неравенство:

x² - 3x - 10 > 0

Сначала найдем корни уравнения x² - 3x - 10 = 0:

x² - 3x - 10 = 0

(x - 5)(x + 2) = 0

x₁ = 5 x₂ = -2

Теперь определим знак выражения x² - 3x - 10 в интервалах между этими корнями и за пределами них:

1. Когда x < -2: Подставим x = -3 (любое число меньше -2) в x² - 3x - 10: (-3)² - 3(-3) - 10 = 9 + 9 - 10 = 18 - 10 = 8 > 0

2. Когда -2 < x < 5: Подставим x = 0 (любое число между -2 и 5) в x² - 3x - 10: 0² - 3(0) - 10 = 0 - 0 - 10 = -10 < 0

3. Когда x > 5: Подставим x = 6 (любое число больше 5) в x² - 3x - 10: 6² - 3(6) - 10 = 36 - 18 - 10 = 18 - 10 = 8 > 0

Итак, область определения данной функции Y = log₀.₅(x² - 3x - 10) - это интервал (-2, 5) включая -2 и не включая 5, так как при x равном -2 или 5, аргумент логарифма равен нулю.