Question

Складіть рівняння дотичної до графіка функції y=-9/x-x у точці з абсцисою х0=1

Answer 1

Ответ:   y=8x-18 .

$y=-\dfrac{9}{x}-x\ \ ,\ \ x_0=1\\\\y(1)=-\dfrac{9}{1}-1=-9-1=-10\\\\y'=-\dfrac{-9}{x^2}-1=\dfrac{9}{x^2}-1\ \ ,\ \ \ \ y'(1)=9-1=8\\\\\underline{y=y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)}\\\\y=-10+8(x-1)\\\\\boxed{y=8x-18}$

Answer 2

Для знаходження рівняння дотичної до графіка функції в заданій точці, спочатку знайдемо похідну цієї функції і обчислимо її значення в точці $x_0 = 1$.

Задана функція: $y = -\frac{9}{x} - x$

Знайдемо похідну $y'$ за правилом суми похідних та правилом похідної від оберненої функції:

$y' = -9 \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) - \frac{d}{dx}(x)$

$y' = -9 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) - 1$

$y' = \frac{9}{x^2} - 1$

Тепер обчислимо значення $y'$ в точці $x_0 = 1$:

$y'(1) = \frac{9}{1^2} - 1 = 9 - 1 = 8$

Отже, похідна функції в точці $x_0 = 1$ дорівнює 8.

Рівняння дотичної до графіка функції в точці $(1, -10)$ можна записати у вигляді:

$y - y_0 = m(x - x_0)$,

де $y_0$ - значення функції в точці $x_0$, $m$ - значення похідної в точці $x_0$.

Підставимо значення в це рівняння:

$y - (-10) = 8(x - 1)$

$y + 10 = 8(x - 1)$

$y = 8(x - 1) - 10$

Рівняння дотичної до графіка функції в точці $x_0 = 1$ має вигляд:

$y = 8x - 8 - 10$

$y = 8x - 18$

Отже, рівняння дотичної до графіка функції $y = -\frac{9}{x} - x$ в точці $x_0 = 1$ є $y = 8x - 18$.