Question

Найти производную обратной функции. f(x)=arcsin3x f(x)=x^3-arccos2x

Answer 1

Ответ:

$2a)\ \ y=arcsin3x\ \ \to \ \ 3x=siny\ \ ,\ \ x=\varphi (y)=\dfrac{1}{3}\, siny\\\\f'(x)=\dfrac{1}{\varphi'(y)}\ \ \to \ \ \varphi'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}=\dfrac{1}{\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}}=\dfrac{\sqrt{1-9x^2}}{3}=\dfrac{\sqrt{1-9\cdot \frac{1}{9}sin^2y}}{3}=\\\\=\dfrac{\sqrt{1-sin^2y}}{3\frac{x}{y} }=\dfrac{cosy}{3}=\dfrac{1}{3}\, cosy$

$P.S.\ \ \ (arcsin3x)'=f'(x)=\dfrac{1}{\varphi '(y)}=\dfrac{1}{\frac{1}{3}\, cosy}=\dfrac{3}{\sqrt{1-sin^2y}}=\\\\\\=\dfrac{3}{\sqrt{1-sin^2(arcsin3x)}}=\dfrac{3}{\sqrt{1-(3x)^2}}=\dfrac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$

$b)\ \ f(x)=x^3-arccos2x\\\\f'(x)=3x^2+\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\\\\\varphi '(y)=\dfrac{1}{f'(x)}=\dfrac{1}{3x^2+\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}}=\dfrac{\sqrt{1-4x^2}}{3x^2\sqrt{1-4x^2}+2}$

Answer 2

Хорошо, давай разбираться с этими задачами.

Для начала, найдем производную обратной функции $f(x) = \arcsin(3x)$.

Пусть $y = \arcsin(3x)$, тогда $x = \sin(y/3)$. Теперь возьмем производную от обеих сторон по $x$:

$$\frac{d}{dx}(\sin(y/3)) = \frac{d}{dx}(x)$$

Используем цепное правило:

$$\frac{1}{3}\cos(y/3) \cdot \frac{dy}{dx} = 1$$

Теперь решим относительно $\frac{dy}{dx}$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{\cos(y/3)}$$

Заменяем обратно $y = \arcsin(3x)$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{\cos(\arcsin(3x)/3)}$$

Теперь используем тригонометрические тождества, чтобы упростить выражение. Помнишь, какие тождества нам могут помочь?

Что касается второй функции $f(x) = x^3 - \arccos(2x)$, мы можем поступить аналогичным образом. Начнем с того, что $y = x^3 - \arccos(2x)$ и найдем $\frac{dy}{dx}$. Готов?