Question

2sin^2(x)=sin(x)+1 Розв'яжіть рівняння

Answer 1

Ответ:

2sin²(x)=sin(x)+1

2sin²(x) - sin(x) - 1 = 0

Робимо заміну:

t=sin(x)

2t²-t-1=0

D=b²-4ac=(-1)²-4×2×(-1)=9=3²

t(1)=$\frac{1-3}{4}$= -$\frac{1}{2}$

t(2)=$\frac{1+3}{4}$= 1

Зробимо зворотну заміну:

sin(x)= -$\frac{1}{2}$ ; x = $\frac{7\pi }{6}$ + 2k$\pi$ , k є Z

sin(x)= 1 ; x = $\frac{\pi }{2}$ + 2k$\pi$ , k є Z

Answer 2

Для розв'язання рівняння 2sin^2(x) = sin(x) + 1 спростимо його:

2sin^2(x) - sin(x) - 1 = 0

Тепер ми можемо вирішити це рівняння як квадратне рівняння відносно sin(x). Давайте позначимо sin(x) як y і розв'яжемо квадратне рівняння:

2y^2 - y - 1 = 0

Ми можемо використовувати квадратну формулу для знаходження значення y:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

У нашому випадку a = 2, b = -1, і c = -1, отже:

y = (-(-1) ± √((-1)² - 4 * 2 * (-1))) / (2 * 2)

y = (1 ± √(1 + 8)) / 4

y = (1 ± √9) / 4

y = (1 ± 3) / 4

Тепер ми маємо два можливих значення для y:

1. y = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1
2. y = (1 - 3) / 4 = -2 / 4 = -0.5

Пам'ятайте, що y відповідає sin(x), тому тепер ми повинні знайти відповідні значення x.

1. sin(x) = 1 Якщо sin(x) = 1, то це відповідає x = π/2 + 2πn, де n - це ціле число.

2. sin(x) = -0.5 Якщо sin(x) = -0.5, то це може відповідати двом можливим кутам: x = 7π/6 + 2πn або x = 11π/6 + 2πn, де n - це ціле число.

Отже, розв'язками рівняння 2sin^2(x) = sin(x) + 1 є: x = π/2 + 2πn, 7π/6 + 2πn, або 11π/6 + 2πn, де n - ціле число.