Question

Вычислите производную функции: А) y=(6x^3-2x^2+7x-4)^6 Б) y=ctg^2(5x-Пи/6)

Answer 1

Ответ:

a

$y '= 6 {(6 {x}^{3} - 2 {x}^{2} + 7x - 4) }^{5} \times (6 {x}^{3} - 2 {x}^{2} + 7x - 4) '= \\ = 6 {(6 {x}^{3} - 2 {x}^{2} + 7x - 4) }^{5} (18 {x}^{2} - 4x + 7)$

b

$y' = 2ctg(5x - \frac{\pi}{6} ) \times (ctg(5x - \frac{\pi}{6}) '\times (4x - \frac{\pi}{6} ) '= \\ = 2ctg(5x - \frac{\pi}{6}) \times ( - \frac{1}{ \sin {}^{2} (5x - \frac{\pi}{6} ) } \times 5 = \\ = - \frac{10ctg(5x - \frac{\pi}{6} )}{ \sin {}^{2} (5x - \frac{\pi}{6} ) }$

Answer 2

А) Чтобы вычислить производную функции $y=(6x^3-2x^2+7x-4)^6$, мы воспользуемся цепным правилом (правилом дифференцирования сложной функции).

1. Выразим внутреннюю функцию $u(x) = 6x^3-2x^2+7x-4$.

2. Теперь вычислим производную $u(x)$: $u'(x) = 18x^2 - 4x + 7.$

3. Теперь мы можем применить цепное правило. Пусть $v(u) = u^6$, тогда: $y'(x) = v'(u) \cdot u'(x) = 6u^5 \cdot (18x^2 - 4x + 7).$

4. Подставим значение $u(x)$ назад: $y'(x) = 6(6x^3-2x^2+7x-4)^5 \cdot (18x^2 - 4x + 7).$

Таким образом, производная функции $y$ равна: $y'(x) = 6(6x^3-2x^2+7x-4)^5 \cdot (18x^2 - 4x + 7).$

Б) Для производной функции $y = \cot^2(5x - \frac{\pi}{6})$, мы воспользуемся правилом дифференцирования тригонометрической функции.

1. Обозначим внутреннюю функцию $u(x) = 5x - \frac{\pi}{6}$.

2. Теперь вычислим производную $u(x)$: $u'(x) = 5.$

3. Теперь мы можем применить правило дифференцирования $\cot^2(u)$: $\frac{d}{dx}(\cot^2(u)) = -2\cot(u)\csc^2(u).$

4. Подставим значение $u(x)$ назад: $y'(x) = -2\cot(5x - \frac{\pi}{6})\csc^2(5x - \frac{\pi}{6}) \cdot 5.$

Таким образом, производная функции $y$ равна: $y'(x) = -10\cot(5x - \frac{\pi}{6})\csc^2(5x - \frac{\pi}{6}).$