Question

Xyy'+x^2=1как решить?​

Answer 1

Ответ:

yy'=(1-x^2)/x

ydy=(1/x-x)dx

intydy=int1/xdx-intxdx

y^2/2=lnx-x^2/2+C

y^2=2lnx-x^2+C1

y1,2=+-sqrt(2lnx-x^2+C1)

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является уравнением второго порядка с переменными коэффициентами. Чтобы решить его, давайте используем метод вариации постоянных.

Исходное уравнение: x^2y'' + xy' = 1

Сначала представьте это уравнение в стандартной форме для линейного уравнения второго порядка:

y'' + (1/x)y' = 1/x^2

Теперь предположим, что решение имеет вид y(x) = u(x)v(x), где u(x) и v(x) - неизвестные функции. Подставляем этот вид в уравнение:

u''(x)v(x) + 2u'(x)v'(x) + u(x)v''(x) + (1/x)(u'(x)v(x) + u(x)v'(x)) = 1/x^2

Теперь давайте упростим уравнение:

u(x)v''(x) + 2u'(x)v'(x) + (1/x)u(x)v'(x) = 1/x^2

Теперь мы можем разделить уравнение на u(x)v(x):

u(x)[v''(x) + (2/x)v'(x) + (1/x^2)v(x)] = 1/x^2

Теперь левая сторона уравнения зависит только от x, а правая сторона тоже. Это возможно только если обе стороны равны постоянной, скажем, C:

u(x)[v''(x) + (2/x)v'(x) + (1/x^2)v(x)] = C

Следовательно:

v''(x) + (2/x)v'(x) + (1/x^2)v(x) = C

Это уравнение можно решить для v(x), а затем можно решить уравнение для u(x). Значение постоянной C будет зависеть от начальных условий.

Теперь решим уравнение для v(x). Это уравнение имеет вид уравнения Лагерра:

v''(x) + (2/x)v'(x) + (1/x^2)v(x) = C

Решение этого уравнения зависит от значения постоянной C. Вы можете использовать стандартные методы решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка для нахождения v(x) в зависимости от C.

Затем, найдя v(x), вы можете решить уравнение для u(x) и получить окончательное решение для y(x) как произведение u(x) и v(x).