Question

Sinx/cosx+1=1-cosx Подробное решение пж

Answer 1

Ответ:

$\frac{ \sin(x) }{ \cos(x) + 1 } = 1 - \cos(x)$

ОДЗ:

$\cos(x) + 1\ne0 \\ \cos(x) \ne - 1 \\ x\ne\pi +2 \pi \: n$

$\sin(x) = (1 - \cos(x)) (1 + \cos(x) ) \\ \sin(x) = 1 - \cos {}^{2} (x) \\ \sin(x) = \sin {}^{2} (x) \\ \sin(x) - \sin {}^{2} (x) = 0 \\ \sin(x) (1 - \sin(x) ) = 0 \\ \\ \sin(x) = 0 \\ x_1 = \pi \: n \\ (x = \pi +2 \pi \: n \: \\\text{не подходит по ОДЗ}) \\ = > x_1 = 2\pi \: n \\ \\ \sin(x) = 1 \\ x_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi \: n$

n принадлежит Z.

Ответ:

$x_1 = 2\pi \: n \\ x_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi \: n$

n принадлежит Z.

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте начнем с его преобразования и упрощения:

Исходное уравнение: $\frac{\sin(x)}{\cos(x) + 1} = 1 - \cos(x)$

1. Умножим обе стороны на $(\cos(x) + 1)$, чтобы избавиться от дроби в левой части: $\sin(x) = (1 - \cos(x))(\cos(x) + 1)$

2. Раскроем скобки в правой части: $\sin(x) = \cos(x) + 1 - \cos^2(x) - \cos(x)$

3. Упростим уравнение: $\sin(x) = 1 - \cos^2(x)$

4. Используем тригонометрическую тождественность $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ для замены $\sin^2(x)$ в уравнении: $1 - \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$

5. Теперь у нас есть уравнение, содержащее только $\cos(x)$ и $\sin(x)$: $1 - \sin^2(x) = 1 - \sin^2(x)$

6. Это тождественное уравнение, которое верно для любого $x$.

Таким образом, исходное уравнение $\frac{\sin(x)}{\cos(x) + 1} = 1 - \cos(x)$ имеет множество решений, и оно верно для любого $x$.