Question

Разложи на множители sin ⁡5α + sin ⁡7α + sin ⁡9α​

Answer 1

$(\sin 5a+\sin 9a)+\sin 7a=2\sin\frac{5a+9a}{2}\cdot \cos\frac{5a-9a}{2}+\sin 7a=$

$=2\sin 7a\cdot \cos2a+\sin 7a=\sin 7a\cdot (2\cos 2a+1)$

Answer 2

За да разложим израза на множители, нека използваме формулата за сума на синуси:

sin(A) + sin(B) = 2 * sin((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)

Сега можем да изразим sin(5α + 9α) и sin(7α) като суми на синуси:

sin(5α + 9α) = sin(14α) sin(7α) = sin(5α + 2α)

Използваме същата формула за сума на синуси за тези два израза:

sin(14α) = 2 * sin((14α + 2α) / 2) * cos((14α - 2α) / 2) sin(5α + 2α) = 2 * sin((5α + 2α) / 2) * cos((5α - 2α) / 2)

Сега имаме следните изрази:

sin(14α) = 2 * sin(8α) * cos(6α) sin(7α) = 2 * sin(3.5α) * cos(2.5α)

Изразът, който трябва да се разложи на множители, е:

sin(5α) + sin(7α) + sin(9α)

Сега можем да го изразим чрез горните изрази:

sin(5α) + sin(7α) + sin(9α) = sin(8α - 3.5α) + sin(3.5α) + sin(8α + 2.5α)

Сега използваме отново формулата за сума на синуси, за да ги съберем:

sin(8α - 3.5α) + sin(3.5α) + sin(8α + 2.5α) = 2 * sin((8α - 3.5α + 3.5α + 8α + 2.5α) / 2) * cos((8α - 3.5α - 3.5α + 8α + 2.5α) / 2)

След като опростим израза, получаваме:

sin(5α + 7α + 9α) = 2 * sin(16α) * cos(15α)

И така, изразът се разлага на множители като:

sin(5α + 7α + 9α) = 2 * sin(16α) * cos(15α)