Question

Найти площадь фигуры ограниченной графиком функции y=2x y=x^2/3​

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций y = 2x и y = x^(2/3), нужно найти точки их пересечения и затем вычислить интеграл от разности этих функций в пределах этих точек. Площадь фигуры будет равна модулю этого интеграла. Давайте начнем с поиска точек пересечения.

Сначала найдем точки пересечения графиков функций:

1. Поставим уравнения y = 2x и y = x^(2/3) равными друг другу и решим это уравнение:

   2x = x^(2/3)

2. Возведем обе стороны уравнения в куб, чтобы избавиться от дроби:

   (2x)^3 = (x^(2/3))^3

3. Решим уравнение:

   8x^3 = x^2

4. Переносим все члены на одну сторону и получаем квадратное уравнение:

   8x^3 - x^2 = 0

5. Факторизуем x^2:

   x^2(8x - 1) = 0

6. Решаем два уравнения:

   a) x^2 = 0 b) 8x - 1 = 0

7. Решениями a) является x = 0.

   Решениями b) является x = 1/8.

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (0, 0) и (1/8, 2/8).

Теперь мы можем найти площадь фигуры между этими двумя кривыми:

Интеграл от разности этих функций в пределах от 0 до 1/8:

Площадь = ∫[0, 1/8] (2x - x^(2/3)) dx

Вычислим этот интеграл:

Площадь = [x^2 - (3/5)x^(5/3)]|₀^(1/8)

Площадь = (1/64 - 3/5 * (1/8)^(5/3)) - (0 - 0)

Площадь = (1/64 - 3/5 * 1/64)

Площадь = 1/64 * (1 - 3/5)

Площадь = 1/64 * (5/5 - 3/5)

Площадь = 1/64 * 2/5

Площадь = 1/160

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 2x и y = x^(2/3), равна 1/160.