Question

ПОМОГИТЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ! Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функцийу =3/x^2 − 2, у = 3х^3 − 2 и прямой х = 3 ( С ГРАФИКОМ!)

Answer 1

Ответ: $\fbox{58}$

Объяснение:

$y_1 = \frac{3}{x^2}-2\\ y_2 = 3x^3-2\\x_1 = 3$

Найдём пересечение графиков функций $y_1$ и $y_2$:
$\frac{3}{x^2} - 2 = 3x^3 - 2\\\\ \frac{3}{x^2} = 3x^3\\\\ \frac{1}{x^2} = x^3\;\;\; | \cdot x^2, \, x \neq 0\\\\ x^5 = 1 \Rightarrow x = 1 \\\\y = 3 \cdot 1^3 - 2 = 1$

Следовательно  $y_1$ и $y_2$ пересекаются в точке $(1,\,1)$.
Тогда площадь фигуры вычисляется по следующей формуле:
$S = \int _1 ^3y_2\mathbf{d}x - \int_1^3y_1\mathbf{d}x = \int _1 ^3(y_2-y_1)\mathbf{d}x\\\\\int _1 ^3(3x^3 - 2 - (\frac{3}{x^2} - 2))\mathbf{d}x = \int _1 ^3(3x^3- \frac{3}{x^2} )\mathbf{d}x = \int _1 ^3 3x^3 \mathbf{d}x - \int _1 ^3\frac{3}{x^2}\mathbf{d}x =\\\\= 3x^4\cdot \frac{1}{4} \bigg{|} _1 ^3+\dfrac{3}{x} \bigg{|} _1 ^3 = (\dfrac{3\cdot3^4}{4} - \dfrac{3\cdot1^4}{4}) + (\dfrac{3}{3} - \dfrac{3}{1}) = \dfrac{3}{4}(81 - 1)+(-2)=\\\\=60 - 2 = \fbox{58}$

Answer 2

К сожалению, я не могу создавать изображения или графики. Однако я могу объяснить, как найти площадь фигуры, ограниченной графиками указанных функций и прямой.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций y = 3/x^2 - 2, y = 3x^3 - 2 и прямой x = 3, вам нужно найти точки их пересечения, а затем интегрировать соответствующую область.

1. Сначала найдем точки пересечения графиков: a. Решите уравнение 3/x^2 - 2 = 3x^3 - 2, чтобы найти точки пересечения кривых. Это может потребовать решения кубического уравнения. b. Решите уравнение x = 3, чтобы найти точку пересечения с прямой.

2. После нахождения точек пересечения определите интервалы x, на которых они находятся.

3. Затем интегрируйте разницу между функциями y = 3/x^2 - 2 и y = 3x^3 - 2 на каждом из этих интервалов по переменной x. Формула для нахождения площади между кривыми задается как:

   Площадь = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

   где f(x) - верхний график, g(x) - нижний график, [a, b] - интервалы, на которых они пересекаются.

4. Затем добавьте площадь прямоугольника, ограниченного прямой x = 3 и соответствующими значениями y.

Итак, чтобы найти площадь фигуры, выполните шаги 1-4, и вы сможете найти искомую площадь.