Question

Знайти проміжки зростання і спадання функції y=4x^3+3x^2

Answer 1

Ответ:y'=4x^3+12x^2-16x=4x(x^2+3x-4)

Y'=0:x=0; x^2+3x-4=0

Объяснение:

Answer 2

Для знаходження проміжків зростання і спадання функції $y = 4x^3 + 3x^2$, спершу знайдемо похідну цієї функції, і потім розв'яжемо нерівності для знаходження цих проміжків. Проміжки зростання функції будуть відомі, коли похідна дорівнює додатньому числу, і проміжки спадання - коли похідна дорівнює від'ємному числу.

1. Знайдемо похідну функції $y = 4x^3 + 3x^2$:

$y' = 12x^2 + 6x$

2. Розв'яжемо рівняння $12x^2 + 6x > 0$ для проміжків зростання:

Розглянемо додатність цього виразу. Для спрощення можна виділити спільний множник, який є 6x:

$6x(2x + 1) > 0$

Тепер перевіримо значення виразу при трьох діапазонах:

• $x < -1/2$

• $-1/2 < x < 0$

• $x > 0$

• Для $x < -1/2$, обидва множники (6x та $2x + 1$) від'ємні, отже, добуток позитивний.

• Для $-1/2 < x < 0$, перший множник (6x) від'ємний, а другий (2x + 1) - позитивний, отже, добуток від'ємний.

• Для $x > 0$, обидва множники позитивні, отже, добуток позитивний.

Таким чином, функція $y = 4x^3 + 3x^2$ зростає на проміжках $-\infty < x < -1/2$ і $0 < x < \infty$.

3. Тепер розв'яжемо рівняння $12x^2 + 6x < 0$ для проміжків спадання. Розглянемо додатність виразу $12x^2 + 6x$:

$6x(2x + 1) < 0$

Повторимо перевірку значень виразу для тих самих діапазонів:

• Для $x < -1/2$, обидва множники від'ємні, отже, добуток позитивний.
• Для $-1/2 < x < 0$, перший множник від'ємний, а другий - позитивний, отже, добуток від'ємний.
• Для $x > 0$, обидва множники позитивні, отже, добуток позитивний.

Отже, функція $y = 4x^3 + 3x^2$ не спадає на жодному діапазоні, бо $12x^2 + 6x$ завжди залишається додатнім.

Узагальнюючи, функція $y = 4x^3 + 3x^2$ зростає на проміжках $-\infty < x < -1/2$ і $0 < x < \inфініті$, і не спадає ніде.