Question

Найдите экстремумы y=x⁴-4x³

Answer 1

Ответ:

Объяснение:находим производную ф-ии и приравняем к нулю >> 4x^3-12x^2=0

X1=0 X2=3

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции $y = x^4 - 4x^3$, сначала найдем ее производную и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки, в которых угол наклона касательной к графику функции равен нулю (то есть точки, где находятся локальные экстремумы). Затем мы проверим вторую производную, чтобы определить, являются ли эти экстремумы локальными минимумами или максимумами.

1. Найдем производную функции $y = x^4 - 4x^3$: $y' = 4x^3 - 12x^2$

2. Теперь приравняем $y'$ к нулю и решим уравнение: $4x^3 - 12x^2 = 0$

Вынесем общий множитель 4x^2: $4x^2(x - 3) = 0$

Решим это уравнение: a) $4x^2 = 0$ $x = 0$

b) $x - 3 = 0$ $x = 3$

Таким образом, у нас есть две точки, где $y'$ равно нулю: $x = 0$ и $x = 3$.

3. Теперь проверим вторую производную $y''$, чтобы определить характер этих экстремумов. $y''$ - это производная первой производной:

$y'' = 12x^2 - 24x$

4. Оценим $y''$ в точках $x = 0$ и $x = 3$:

a) При $x = 0$: $y''(0) = 12(0)^2 - 24(0) = 0$

b) При $x = 3$: $y''(3) = 12(3)^2 - 24(3) = 36 - 72 = -36$

Теперь мы можем сделать вывод:

• В точке $x = 0$, $y'' = 0$, что означает отсутствие локального экстремума.
• В точке $x = 3$, $y'' = -36$, что означает, что у нас есть локальный максимум.

Таким образом, у функции $y = x^4 - 4x^3$ есть локальный максимум в точке $x = 3$, и в точке $x = 0$ нет локальных экстремумов.