Question

Відношення коренів рівняння x²+14x+a=0 дорівнює 4:3. Знайти значення a і корені рівняння​

Answer 1

Решение:

$x^2+14x+a = 0\\\\D = 14^2 - 4a = 196 - 4a = 4(49-a)\\\\x_1 = \frac{-14-2\sqrt{49-a} }{2} = -7-\sqrt{49-a}\\\\x_2 = -7+\sqrt{49-a} \\\\\frac{-7-\sqrt{49-a}}{-7+\sqrt{49-a}} = \frac{4}{3}\\\\ 4(-7+\sqrt{49-a}) = 3(-7-\sqrt{49-a})\\\\-28+4\sqrt{49-a} = -21 - 3\sqrt{49-a}\\\\7\sqrt{49-a} = 7\\\\\sqrt{49-a} = 1\\\\49 - a = 8\\\\a = 48\\\\x_1 = -7 - \sqrt{49-48} = -8\\\\x_2 = -7 + \sqrt{49-48} = -6$

Answer 2

Якщо відношення коренів квадратного рівняння $x^2 + 14x + a = 0$ дорівнює 4:3, то ми можемо записати корені рівняння у вигляді $x = k_1$ і $x = k_2$, де $k_1$ і $k_2$ - це корені рівняння, і $k_1/k_2 = 4/3$.

Ми також знаємо, що сума коренів квадратного рівняння $x^2 + bx + c = 0$ дорівнює $-b$, а добуток коренів дорівнює $c$. В нашому випадку, $b = 14$, і ми шукаємо параметр $a$.

З відомого відношення $k_1/k_2 = 4/3$, ми можемо записати $k_1 = 4x$ і $k_2 = 3x$.

Знаючи це, ми можемо використати властивості суми і добутку коренів, щоб отримати систему рівнянь:

1. Сума коренів: $k_1 + k_2 = -b$ Підставимо вирази для $k_1$ і $k_2$: $4x + 3x = -14$ $7x = -14$ $x = -2$

2. Добуток коренів: $k_1 \cdot k_2 = a$ Підставимо значення $x$ і вирази для $k_1$ і $k_2$: $4x \cdot 3x = a$ $-24 = a$

Отже, значення параметра $a = -24$, а корені рівняння $x^2 + 14x - 24 = 0$ дорівнюють -8 і 3.