Question

Cos'2a(1-tg'2a) спростити вираз

Answer 1

$Cos^{2}\alpha(1-tg^{2} \alpha)=Cos^{2}\alpha*(1-\frac{Sin^{2}\alpha}{Cos^{2}\alpha})=Cos^{2}\alpha*\frac{Cos^{2}\alpha-Sin^{2}\alpha}{Cos^{2}\alpha} =\\\\=Cos^{2}\alpha-Sin^{2}\alpha=\boxed{Cos2\alpha}$

Answer 2

Для спрощення виразу cos^2(2a)(1-tan^2(2a)), спочатку використаємо тригонометричну тотожність:

1. $\cos^2(2a) = 1 - \sin^2(2a)$, тобто квадрат косинуса подвійного кута дорівнює 1 мінус квадрат синуса подвійного кута.

2. Також, $\tan^2(2a) = \frac{\sin^2(2a)}{\cos^2(2a)}$, оскільки $\tan(2a) = \frac{\sin(2a)}{\cos(2a)}$.

Отже, вираз можна спростити так:

$\cos^2(2a)(1 - \tan^2(2a)) = (1 - \sin^2(2a))\left(1 - \frac{\sin^2(2a)}{1 - \sin^2(2a)}\right)$.

Зараз спростимо цей вираз:

1. $1 - \sin^2(2a) = \cos^2(2a)$ (використовуючи основну тригонометричну тотожність).
2. Подставимо це значення в решту виразу:

$\cos^2(2a)\left(1 - \frac{\sin^2(2a)}{\cos^2(2a)}\right) = \cos^2(2a)(1 - \frac{\sin^2(2a)}{\cos^2(2a)})$.

Тепер ми можемо спростити подвійні дужки:

$\cos^2(2a)(1 - \frac{\sin^2(2a)}{\cos^2(2a)}) = \cos^2(2a) - \sin^2(2a)$.

Знову використовуючи основну тригонометричну тотожність ($\cos^2(2a) - \sin^2(2a) = 1$), отримуємо:

$\cos^2(2a) - \sin^2(2a) = 1$.

Таким чином, вираз cos^2(2a)(1 - tan^2(2a)) спрощується до 1.