Question

НАЙДИТЕ наименьшее значение функции e^2x -14e^x- 2 на отрезке [0;2]

Answer 1

Ответ:

y(ln 7) = -51

Объяснение:

y = e^(2x) - 14e^x - 2; x € [0; 2]

Найти наименьшее значение.

Сначала найдем значения на концах отрезка:

y(0) = e^0 - 14*e^0 - 2 = 1 - 14 - 2 = - 15

y(2) = e^4 - 14*e^2 - 2 ≈ 54,6 - 103,45 - 2 = -50,85

Теперь найдем экстремум, приравняв производную к 0.

y' = 2e^(2x) - 14e^x = 0

2e^x*(e^x - 7) = 0

e^x > 0 при любом х, поэтому единственный корень:

e^x = 7

x = ln 7 ≈ 1,946 € [0; 2]

y(ln 7) = e^(2ln 7) - 14*e^(ln 7) - 2 = e^(ln 49) - 14*e^(ln 7) - 2 = 49 - 14*7 - 2 = -51

Это и есть точка минимума.

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции e^(2x) - 14e^x - 2 на отрезке [0;2] нужно сначала найти производную этой функции и найти ее корни, чтобы определить места, где функция имеет экстремумы. Затем мы можем проверить значения функции в этих точках и на концах отрезка, чтобы найти минимальное значение.

1. Найдем производную функции: f'(x) = d/dx (e^(2x) - 14e^x - 2) f'(x) = 2e^(2x) - 14e^x

2. Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти точки экстремума: 2e^(2x) - 14e^x = 0

   Вынесем e^x как общий множитель: 2e^x(e^x - 7) = 0

   Это уравнение имеет два решения: a) e^x = 0 (это решение не подходит, так как экспонента всегда положительна). b) e^x - 7 = 0

   Решим второе уравнение: e^x = 7

   Теперь найдем x: x = ln(7) (натуральный логарифм числа 7)

3. Теперь, когда мы знаем, что x = ln(7) - это одна из точек экстремума, мы можем проверить значения функции в этой точке и на концах отрезка [0, 2]:

   a) f(0) = e^(20) - 14e^0 - 2 = 1 - 14 - 2 = -15. b) f(2) = e^(22) - 14e^2 - 2 ≈ 54.27 - 147 - 2 ≈ 54.27 - 98 - 2 ≈ -45.73. c) f(ln(7)) = e^(2ln(7)) - 14e^(ln(7)) - 2 = 7^2 - 14*7 - 2 = 49 - 98 - 2 = -51.

Наименьшее значение функции на отрезке [0, 2] - это -51, и оно достигается в точке x = ln(7).

Таким образом, минимальное значение функции e^(2x) - 14e^x - 2 на отрезке [0;2] равно -51.