Question

Найдите чисто корней уравнения tg^2 x+3=2√3*(sinx/cosx) на промежутке [-pi; 3pi/4]

Answer 1

Ответ:

${tg}^{2} x + 3 = 2 \sqrt{3} \times \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) } \\ {tg}^{2} x - 2 \sqrt{3} tgx + 3 = 0 \\ \\ tgx = t \\ \\ t {}^{2} - 2 \sqrt{3} t + 3 = 0 \\ D= 4 \times 3 - 12 = 0 \\ t = \frac{2 \sqrt{3} }{2} = \sqrt{3} \\ \\ tgx = \sqrt{3} \\ x = \frac{\pi}{3} + \pi \: n \\n \in \:Z$

На промежутке:

рисунок

2 корня

Ответ: 2 корня

Answer 2

Для нахождения чистых корней уравнения на данном интервале, мы начнем с преобразования его в более простую форму.

Уравнение:

$\tan^2(x) + 3 = 2\sqrt{3}\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)$

Первым шагом мы можем преобразовать $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ в $\tan(x)$:

$\tan^2(x) + 3 = 2\sqrt{3}\tan(x)$

Теперь у нас есть уравнение:

$\tan^2(x) - 2\sqrt{3}\tan(x) + 3 = 0$

Давайте обозначим $\tan(x)$ как $t$ и решим это уравнение:

$t^2 - 2\sqrt{3}t + 3 = 0$

Мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения значений $t$:

$t = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{2\sqrt{3}^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$t = \sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 3}$

Так как $\sqrt{3 - 3} = \sqrt{0} = 0$, у нас есть два значения $t$:

1. $t = \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3}$
2. $t = \sqrt{3} - 0 = \sqrt{3}$

Теперь мы должны вернуться к исходной переменной $x$ и найти соответствующие значения:

1. $\tan(x) = \sqrt{3}$
2. $\tan(x) = -\sqrt{3}$

Теперь, чтобы найти значения $x$ на интервале $[-\pi, \frac{3\pi}{4}]$, мы можем использовать обратную тригонометрическую функцию арктангенса:

1. $x_1 = \arctan(\sqrt{3})$
2. $x_2 = \arctan(-\sqrt{3})$

Однако мы должны учесть, что арктангенс имеет периодическое повторение каждые $\pi$ радиан, поэтому есть бесконечно много корней.

На интервале $[-\pi, \frac{3\pi}{4}]$, однако, с учетом данного интервала, мы имеем следующие значения:

1. $x_1 = \arctan(\sqrt{3}) \approx 1.047 \text{ радиан}$ (или около $60^\circ$)
2. $x_2 = \arctan(-\sqrt{3}) \approx -1.047 \text{ радиан}$ (или около $-60^\circ$)

Таким образом, на данном интервале уравнение имеет два чистых корня: приближенно $x \approx 1.047$ радиан и $x \approx -1.047$ радиан.