Question

Розв'яжіть рівняння:а) cos^4x-sin^4x >= 1/2б)cos^x+2cosx < 0​

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

а)(cos² x +sin² x)*(cos² x -sin² x)>= 1/2

cos² x +sin² x =1

cos² x -sin² x = cos 2x

cos 2x>= 1/2

-п/6 +пn<=x<=п/6 +пn, де n ∈ Z.

б)cos²x+2cosx < 0​

cosx(cos x+2) < 0​

cos x=0 або cosx +2 =0

п/2 +2пn<=x<=3п/2 +2пn, де n ∈ Z.

Answer 2

а) Розв'яжемо рівняння cos^4x - sin^4x >= 1/2. Спочатку використаємо тригонометричну ідентичність cos^2x - sin^2x = 1:

cos^4x - sin^4x = (cos^2x - sin^2x)(cos^2x + sin^2x) = cos^2x - sin^2x

Тепер ми маємо:

cos^2x - sin^2x >= 1/2

Знову використовуємо тригонометричну ідентичність cos^2x + sin^2x = 1:

cos^2x - (1 - cos^2x) >= 1/2

2cos^2x - 1 >= 1/2

Тепер додамо 1 до обох боків:

2cos^2x >= 1.5

cos^2x >= 0.75

Тепер витягнемо квадратний корінь і врахуємо, що cos(x) може бути як додатним, так і від'ємним:

cosx >= ±√0.75

Тепер розглянемо два випадки:

1. cosx >= √0.75: У цьому випадку рівняння виконується для всіх значень x.

2. cosx <= -√0.75: У цьому випадку ми повинні врахувати, що cos(x) менше за 0 і рівняння не виконується для жодного значення x.

Отже, рішення рівняння а) полягає в такому: x може бути будь-яким дійсним числом, але враховуючи обмеження, які ми визначили.

б) Тепер розв'яжемо рівняння cos^x + 2cosx < 0. Спочатку факторизуємо його:

cosx(cosx + 2) < 0

Тепер розглянемо два випадки:

1. cosx < 0 і cosx + 2 > 0: У цьому випадку рівняння виконується, коли cosx знаходиться між -2 і 0. Тобто -2 < cosx < 0.

2. cosx > 0 і cosx + 2 < 0: У цьому випадку рівняння не має розв'язків, оскільки cosx + 2 не може бути від'ємним, коли cosx додатній.

Отже, рішення рівняння б) - це -2 < cosx < 0.